Equations NON linéaires

[didier23]

Je m'intéresse aux modèles de toute sorte, notamment les modèles météorologiques. Lorsque j'essaie de comprendre un peu le fonctionnement, je me heurte au terme "d'équation non linéaire", équations lesquelles travaillait Lorenz et son fameux "effet papillon". Mais qu'appelle-t-on une équation NON linéaire ?

Attention : je suis un passionné mais plutôt dans le sens de la vulgarisation scientifique... donc mes connaissances de base sont... minces.

Merci d'avance. (et mille excuses si le sujet a déjà été traité)

[dupo]

bonjour,
si tu t'intéresse un peu aux équa diff et à la modélisation physique, et à l'effet papillon,...
je pense que tu as une sensibilité de physicien, donc, on s'en fiche un peu des théorèmes et des démos, oui ? non ?
et tu voudrais voir par toi même, des phénomènes...

et bien en fait, personellement, quand je pose des questions, souvent je ne comprend rien à la réponse, et c'est qu'après avoir étudier le truc moi même j'arrive à comprendre la réponse à posteriori...

bon, si t'es comme moi, à mon avis, le mieux c'est de regarder les cours de terminal sur les équation diff linéaire, et de savoir résoudre des équations linéaire du 1 et 2 ordre.
après, si tu as une âme de physicien, tu pourras lire avec profis des livres de physique sur le chaos, et donc voir l'effet papillon.
par exemple avec "de l'ordre dans le chaos" édition hermann.

bon, voilà, j'espère que tu auras d'autres réponses pour mieux te guider.

[P-plum]

Bonjour,
la réponse à ta question est vers la fin du texte :
http://www.cmathematique.com/cgi-bin...u1_166_7_10_29

[didier23]

Merci à tous les deux ; plus particulièrement à P plum qui m'a bien aiguillé. Il est un peu tard donc je remets la lecture du texte qu'il me conseille à demain mais "je sens que c'est ça" !

Pour ce qui est du message de dupo, j'avoue que je ne suis plus assez à l'aise avec le programme de term pour m'y remettre (ça remonte à ... quelques années). Il me semble toutefois que l'on peut vulgariser la science sans être totalement un scientifique et bien entendu sans trahir le sujet. A condition de ne pas s'embarquer dans des choses trop complexes.
Mais cela est un autre débat...

[Coincoin]

Salut,
On appelle "équation non-linéraire" une équation pour laquelle, si y₁ et y₂ sont deux solutions et si a est un nombre, ay₁+y₂ n'est pas solution (par opposition à une équation linéaire pour laquelle toute combinaison linéaire de solutions est solution).
Mais il ne me semble pas que toutes les équations non-linéaires soient chaotiques...

[didier23]

Toutes les équations non-linéaires ne sont pas chaotiques en effet d'après ce que je comprends (chaotique dans le sens "sensibles aux conditions premières").

[martini_bird]

Salut,
On appelle "équation non-linéraire" une équation pour laquelle, si y₁ et y₂ sont deux solutions et si a est un nombre, ay₁+y₂ n'est pas solution (par opposition à une équation linéaire pour laquelle toute combinaison linéaire de solutions est solution).
Mais il ne me semble pas que toutes les équations non-linéaires soient chaotiques...

Salut coin-coin,
amusant ta façon de voir la linéarité dans les solutions et non dans le problème!

[Sephi]

Une équation différentielle est linéaire lorsque les inconnues ne sont pas multipliées entre elles (il n'y a pas de terme d'ordre supérieur à 1). Ce type d'équation correspond à des phénomènes relativement simples.

En général, un phénomène naturel complexe engendre toujours une modélisation sous forme d'équations non-linéaires, càd des équations où les inconnues sont multipliées entre elles. Par exemple, le système de Lorenz est de la forme :

x' = s(y-x)
y' = rx-y-xz
z' = xy-bz

où x, y et z sont les fonctions inconnues, et s, r, b des constantes. On voit que ces équations ne sont pas linéaires, à cause de la présence des termes xz dans la 2e équation, et xy dans la 3e.

Le modèle de Lorenz est un exemple classique pour découvrir le comportement chaotique dans un système dynamique. Ce type de comportement n'est possible que dans un phénomène (fortement) non-linéaire.