je suis un eleve de terminale S et mon prof de math m'conseille de me renseigner sur les classes d'equivalence ,je voudrais donc que quelqu'un m'explique ce que c'est que les classes d'equvalence d'une facon accesible a mon niveau
merci d'avance
Il faut d'abord que tu te renseignes sur ce qu'est une relation d'équivalence :
- 2 éléments a et b éléments de E (un ensemble) sont relation (noté aRb) si R vérifie (pour tout a,b,c de E)
- aRa (réfléxive)
- aRb => bRa (symétrique)
- aRb et bRc => aRc (transitive)
Pour donner un exemple, la congruence est une relation d'équivalence sur Z :
soit n un entier :
a=a mod n (relation de congruence est réflexive)
si a=b mod(n) alors b=a mod(n) (car a=k*n+b donc b=-k*n + a) (symétrique)
si a=b mod(n) et b=c mod(n) alors a=c mod(n) (facile à montrer) (transitive)
Donc la relation de congruence est une relation d'équivalence sur Z
- On peut montrer qu'une relation d'equivalence permet de partitionner un ensemble : dans l'exemple, Z est "découpé" en n paquets :
- il y a les entiers divisibles par n (premiere classe d'equivalence)
- les entiers congrus à 1 mod(n) (une autre classe d'equivalence)
- etc...
- les entiers congrus à n-1 mod(n)
On montre que pour R une relation d'equivalence quelconque, la réunion des classes d'equivalence décrivent tout l'ensemble (ca se voit pr la congruence)
- l'intersection entre 2 classes d'equivalence est toujours vide (ca se voit aussi pr la congruence)
- En gros ca permet de décrire un ensemble en "regroupant" des éléments
Exemple : les nombres pairs et les nombres impairs dans Z
Ici, on dit qu'il y a la classe de 0 (tous les elements = 0 mod(2)) et la classe de 1 (les éléments = 1 mod (2))
PS : l'égalité est une relation d'equivalence (la plus simple qui soit) : chaque classe d'equivalence est un singleton.
Bref : je pense que l'exemple des congruences est parlant
Sinon n'hésite pas à chercher des preuves rigoureuses de tout ça, là je cherche surtout à parler à ton intuition.
Bonsoir.
L'exemple des congruences est très bien, mais je te donne un autre exemple qui ne sera pas, je l'espère superflux (et qui est cher à Médiat il me semble
La relation que erff a notée R peut se noter ~ également (c'est celle que j'adopte).
Si je prend E l'ensemble des objets de la vie courante, alors je peux définir une relation d'équivalence ~ qui dit:
Si A et B sont 2 objets , A~B si A a la même couleur que B .
Tu vois bien que:
.A~A (A a la même couleur que A), [réflexivité]
.si A~B , alors B~A (si A a la même couleur que B, alors B a la même couleur que A) [symétrie]
.si A~B et B~C alors A~C (si A a la même couleur que B, et B la même couleur que C, alors A a la même couleur que C) [transitivité]
Ces 3 points nous assurent, comme l'a dit erff, que ~ est une relation d'équivalence dans l'ensemble des objets de la vie courante.
Maintenant, on peut définir la classe d'équivalence du bleu, qui correspond à l'ensemble des objets de la vie courante qui ont la couleur bleue.
De même, on peut définir la classe d'équivalence du vert qui est l'ensemble des objets de la vie courante de couleur verte, et ainsi de suite...
Salut,
Pour dire encore la même chose mais je l'espère un peu différemment.
La relation d'équivalence classe les éléments d'un gros ensemble en sous-ensembles disjoints qui vérifie certaines propriétés:
Par exemple, être bleu, rose, vert ou jaune.
Cependant, tu dois pouvoir classer tes éléments dans exactement une catégorie. Notamment, tu ne peux pas avoir des éléments que tu classes dans deux sous-ensembles : Par exemple, tu ne dois pas permettre d'avoir des éléments bleu-verts ! (NB: J'aurai pu prendre rose-bleu, mais je n'ai jamais entendu dire qu'un objet était rose-bleu, alors que bleu-verts, si, par exemple les beaux yeux d'une jeune fille
Et les classes d'équivalence sont en fait juste les sous-ensembles disjoints que tu as obtenus précédemment.
Par exemple, imagine que E = {1, 2, ..., 2008}, et que tu regardes la parité.
Alors tu vas obtenir deux classes d'équivalence E1 et E2: E1 = {x dans E, tels que x est impair}, E2 = {x dans E, tels que x est pair}.
Il se trouve que dans certains cas, on peut en plus mettre une structure sur les classes d'équivalence.
__
rvz
je vous remercie tous pour vos reponses j'aurais une petite question :
si on prend un ensemble E et un element S de cet ensemble on peut dire cet element ne peut pas apartenir a plus d'une classe d'equivalence mais peut-on dire que cet element apartient a une et une seule classe d'equivalence en d'autres termes peut-il n'appartenir a aucune classe d'equivalence
Lorsqu'on parle de classes d'équivalence, il faut que les classes d'équivalence partitionnent l'ensemble de départ. Etant donné que leur réunion constituent entièrement l'ensemble, un élément de cet ensemble appartient forcément à une classe d'équivalence...Il se trouve qu'un élément n'appartient qu'à une et une seule classe d'équivalence...
efyassine merci d'avoir posé la question. enfin je comprends mieux les classes d'équivalences grâce à l'explication de Ledescat
A+
