Bonsoir, je bloque un peu sur cet exercice:
Soit f la fonction périodique de période 1 définie par :
ou :
1/Etablir la série de Fourier de f.
2/En déduire le dvpt de
merci d'avance ...
Re-bonjour !
ou bloque tu ?
Je bloque a la question 2.Envoyé par Ksilver
Pour la 1 j'obtiens:comme f est paire
f(x)= sin(2Piz)/(2Piz) +Sum(n=1...inf)[z sin(2Piz)cos(2Pinx)]/[Pi(z^2-n^2)]
tu as fait le plus dur alors !
pose x=1/2 dans ta formule et divise par sin(Pi.z) et tu as gagné !
Ah j'ai un pb j'ai du sin(2Piz) au lieu de sin(Piz) ....
et dans la somme j'ai du cos(nPi)=(-1)^n ca me semble faux....
ah oui tu as raison... il faut faire x=1 et changer z en z/2 finalement
Peux-tu donner les bornes d'intégration que je calcule voir, parce que j'ai un doute sur ton développement obtenu.
T=1 donc j'ai intégré entre 0 et 1 :
a_n(f)=2/T *int[0...1] f(x).exp(nwx)
"ai intégré entre 0 et 1 " enfin entre -1/2 et 1/2 j'espère quand meme ^^ (sinon tu as du te compliquer la vie ^^)
Je pense pas m'etre compliqué la vie en faisant entre 0 et 1 car le sinus s'annule en 0 ^^^^
je peux pas changer z en z/2 !parce que j'ai du 1/ z^2 -n^2
Bon alors, moi je suis parti directement du calcul de b_n parce que la fonction est paire et donc les coefficients a_n sont nuls. Ensuite, j'ai intégré entre -1/2 et +1/2. Puis pour simplifier le calcul, j'ai posé u = 2.pi.x. Finalement, j'intègre donc :
Utilisans la formule : cosa.cosb = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)], l'intégrale devient, en intégrant facilement ... :
On met tout au meme dénominateur, on développe les sin, ... On trouve alors un terme contenant un sin(n.pi). Tous les sin(n.pi) sont nuls pour n=0,1,2,... Finalement il ne reste que :
D'ou :
Posant u=z et z=pi, et divisant ensuite par sin(pi.z) la formule précédente, tu obtiens cotg (pi.z) ... sauf erreur de ma part.
Bon alors, moi je suis parti directement du calcul de b_n parce que la fonction est paire et donc les coefficients a_n sont nuls. Ensuite, j'ai intégré entre -1/2 et +1/2. Puis pour simplifier le calcul, j'ai posé u = 2.pi.x. Finalement, j'intègre donc :
Utilisans la formule : cosa.cosb = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)], l'intégrale devient, en intégrant facilement ... :
On met tout au meme dénominateur, on développe les sin, ... On trouve alors un terme contenant un sin(n.pi). Tous les sin(n.pi) sont nuls pour n=0,1,2,... Finalement il ne reste que :
D'ou :
Posant u=z et z=pi, et divisant ensuite par sin(pi.z) la formule précédente, tu obtiens cotg (pi.z) ... sauf erreur de ma part.
J'ai trouvé un truc semblable:
Pi.cotan(Pi.z)=1/z + 2zSum(n>=1) 1/ [z^2-n^2]
"Je pense pas m'etre compliqué la vie en faisant entre 0 et 1 car le sinus s'annule en 0 "
ba l'expression qui déifinit ta fonction est valide pour x entre -1/2 et 1/2, donc si ta intégré entre 0 et 1 il est probable que tu es fais une erreur de calcule....
Oui c'est pour ca que j'ai recommencé le calcul entre -1/2 et 1/2 et la ca marchait bien ....
Oui c'est bien ca.
Sinon, qu'on intègre sur -1/2, 1/2 ou 0, 1 ca donne normalement la meme chose puisque la période est de 1.
Non ca marche pas ici ,la fonction étant définie sur [-1/2,1/2]
