Série de Fourier

mehdi_128 · 01/01/2008 - 17h02

Bonsoir, je bloque un peu sur cet exercice:

Soit f la fonction périodique de période 1 définie par :

$f(x)=cos(2pizx)$ ou :

$abs(x)=< \frac{1}{2}$ ou z est un nb complexe non entier.

1/Etablir la série de Fourier de f.

2/En déduire le dvpt de $cotan(piz)$ en série de fonctions rationnelles.

merci d'avance ...

Ksilver · 01/01/2008 - 17h06

Re-bonjour !

ou bloque tu ?

mehdi_128 · 01/01/2008 - 17h28

Envoyé par Ksilver

Re-bonjour !

ou bloque tu ?

Je bloque a la question 2.
Pour la 1 j'obtiens:comme f est paire

f(x)= sin(2Piz)/(2Piz) +Sum(n=1...inf)[z sin(2Piz)cos(2Pinx)]/[Pi(z^2-n^2)]

Ksilver · 01/01/2008 - 17h57

tu as fait le plus dur alors !

pose x=1/2 dans ta formule et divise par sin(Pi.z) et tu as gagné !

mehdi_128 · 01/01/2008 - 18h05

Envoyé par Ksilver

tu as fait le plus dur alors !

pose x=1/2 dans ta formule et divise par sin(Pi.z) et tu as gagné !

Ah j'ai un pb j'ai du sin(2Piz) au lieu de sin(Piz) ....

et dans la somme j'ai du cos(nPi)=(-1)^n ca me semble faux....

Ksilver · 01/01/2008 - 18h18

ah oui tu as raison... il faut faire x=1 et changer z en z/2 finalement

zapple · 01/01/2008 - 18h21

Peux-tu donner les bornes d'intégration que je calcule voir, parce que j'ai un doute sur ton développement obtenu.

mehdi_128 · 01/01/2008 - 18h48

Envoyé par zapple

Peux-tu donner les bornes d'intégration que je calcule voir, parce que j'ai un doute sur ton développement obtenu.

T=1 donc j'ai intégré entre 0 et 1 :

a_n(f)=2/T *int[0...1] f(x).exp(nwx)

Ksilver · 01/01/2008 - 18h50

"ai intégré entre 0 et 1 " enfin entre -1/2 et 1/2 j'espère quand meme ^^ (sinon tu as du te compliquer la vie ^^)

mehdi_128 · 01/01/2008 - 18h59

Envoyé par Ksilver

"ai intégré entre 0 et 1 " enfin entre -1/2 et 1/2 j'espère quand meme ^^ (sinon tu as du te compliquer la vie ^^)

Je pense pas m'etre compliqué la vie en faisant entre 0 et 1 car le sinus s'annule en 0 ^^^^

mehdi_128 · 01/01/2008 - 19h02

Envoyé par Ksilver

ah oui tu as raison... il faut faire x=1 et changer z en z/2 finalement

je peux pas changer z en z/2 !parce que j'ai du 1/ z^2 -n^2

zapple · 01/01/2008 - 20h54

Bon alors, moi je suis parti directement du calcul de b_n parce que la fonction est paire et donc les coefficients a_n sont nuls. Ensuite, j'ai intégré entre -1/2 et +1/2. Puis pour simplifier le calcul, j'ai posé u = 2.pi.x. Finalement, j'intègre donc :

$b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}cos(zu).cos(nu)du$

Utilisans la formule : cosa.cosb = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)], l'intégrale devient, en intégrant facilement ... :

$b_n=\frac{1}{\pi} [\frac{sin(z+n)\pi}{z+n} + \frac{sin(z-n)\pi}{z-n}]=\frac{2}{\pi}$

On met tout au meme dénominateur, on développe les sin, ... On trouve alors un terme contenant un sin(n.pi). Tous les sin(n.pi) sont nuls pour n=0,1,2,... Finalement il ne reste que :

$b_n=\frac{2zsin(z\pi)cos(n\pi) }{\pi (z^2-n^2)}=\frac{2}{\pi}(-1)^n[\frac{zsin(z\pi)}{z^2-n^2}]$ .

D'ou :

$cos(zu)=\frac{2zsin(z\pi)}{\pi }[\frac{1}{2z^2}-\frac{cosu}{z^2-1^2}+ \frac{cos2u}{z^2-2^2}-\frac{cos3u}{z^2-3^2}+... ]$

Posant u=z et z=pi, et divisant ensuite par sin(pi.z) la formule précédente, tu obtiens cotg (pi.z) ... sauf erreur de ma part.

mehdi_128 · 01/01/2008 - 21h11

Envoyé par zapple

Bon alors, moi je suis parti directement du calcul de b_n parce que la fonction est paire et donc les coefficients a_n sont nuls. Ensuite, j'ai intégré entre -1/2 et +1/2. Puis pour simplifier le calcul, j'ai posé u = 2.pi.x. Finalement, j'intègre donc :

$b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}cos(zu).cos(nu)du$

Utilisans la formule : cosa.cosb = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)], l'intégrale devient, en intégrant facilement ... :

$b_n=\frac{1}{\pi} [\frac{sin(z+n)\pi}{z+n} + \frac{sin(z-n)\pi}{z-n}]=\frac{2}{\pi}$

On met tout au meme dénominateur, on développe les sin, ... On trouve alors un terme contenant un sin(n.pi). Tous les sin(n.pi) sont nuls pour n=0,1,2,... Finalement il ne reste que :

$b_n=\frac{2zsin(z\pi)cos(n\pi) }{\pi (z^2-n^2)}=\frac{2}{\pi}(-1)^n[\frac{zsin(z\pi)}{z^2-n^2}]$ .

D'ou :

$cos(zu)=\frac{2zsin(z\pi)}{\pi }[\frac{1}{2z^2}-\frac{cosu}{z^2-1^2}+ \frac{cos2u}{z^2-2^2}-\frac{cos3u}{z^2-3^2}+... ]$

Posant u=z et z=pi, et divisant ensuite par sin(pi.z) la formule précédente, tu obtiens cotg (pi.z) ... sauf erreur de ma part.

J'ai trouvé un truc semblable:

Pi.cotan(Pi.z)=1/z + 2zSum(n>=1) 1/ [z^2-n^2]

Ksilver · 01/01/2008 - 21h28

"Je pense pas m'etre compliqué la vie en faisant entre 0 et 1 car le sinus s'annule en 0 "

ba l'expression qui déifinit ta fonction est valide pour x entre -1/2 et 1/2, donc si ta intégré entre 0 et 1 il est probable que tu es fais une erreur de calcule....

mehdi_128 · 01/01/2008 - 21h32

Envoyé par Ksilver

"Je pense pas m'etre compliqué la vie en faisant entre 0 et 1 car le sinus s'annule en 0 "

ba l'expression qui déifinit ta fonction est valide pour x entre -1/2 et 1/2, donc si ta intégré entre 0 et 1 il est probable que tu es fais une erreur de calcule....

Oui c'est pour ca que j'ai recommencé le calcul entre -1/2 et 1/2 et la ca marchait bien ....

Série de Fourier