Problème avec les intégrales complexes

[invite599652f3]

Bonjour,
Voila j'ai rencontré un problème lorsque j'ai voulu calculer l'intégrale suivante:


Le problème vient du fait que j'ai deux solutions suivant le domaine d'intégration utilisé dans le plan complexe:
-domaine 1: demi cercle dans le demi plan positif de rayon R et avec un demi cercle autour des singularités (1 et -1) de rayon r (contenant ou pas les singularités). et j'obtiens avec le théorème des résidues
-domaine 2: J'utilise toujours le demi cercle de rayon R dans le demi-plan positif ensuite je décalle la droite horizontale en-dessous de la droite des réelles avec et r>0 afin de ne pas avoir les singularités sur les bords du domaine d'intégration. Je fais tendre et et j'obtiens avec le théorème des résidues:
Je n'arrive pas à mettre des images qui donne une représentation plus claire des domaines d'intégration...
Où est le problème?? J'ai vérifié plusieurs fois le calcul et je trouve toujours la même chose.

Merci d'avance
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[martini_bird]

Salut,

je ne comprends pas la différence puisque dans les deux cas tu prends la somme des résidus multipliée par ...

Cordialement.

[invitebfbf094d]

C'est une intégrale de la forme e^(ikx).P(k)/Q(k). Tu peux trouver le calcul de ce genre d'intégrale dans pas mal de cours sur les résidus. On étudie les cas x > 0, x < 0.

1) Pour x > 0, on considère les zéros z1, z2, ...zn de Q appartenant au demi-plan supérieur Im z > 0. Dans ton cas, c'est 1. Il y a tout un calcul à faire, et l'on montre que :

.

Dans ton cas, on aura (sauf erreur de ma part) :

2) Pour x < 0, tu fais la même chose, mais dans le demi-plan inférieur Im z < 0, où l'on montre que, en notant z'1, z'2, ..., z'r les zéros de Q (ici c'est -1) :

.

Je sais pas si ton intégrale correspond bien ici à cette résolution, mais je pense que oui.

3) Pour x = 0, le calcul est immédiat.

[invite599652f3]

Pour Zapple, il me semblait que cette relation sur l'intégrale était juste pour les pôles dont l'image est positive strictement or ici les deux pôles sont réels donc ont une image nulle.
Bon je vais détailler les calculs pour le domaine 1. C'est un peu laborieux...
On cherche donc:

On peut considérer l'intégrale:


Ensuite
Avec la droite sur l'axe des réels allant de à , idem pour les autres . Ensuite le demi-disque autour de -1 dans le demi-plan négatif. Pareil pour mais autour de 1. Finalement le demi disque de centre 0 de rayon dans le demi-plan positif. On impose .
Ensuite
.
On prend les limites et .

. Par majoration de la norme et en supposant .
Ensuite

C'est ce qu'on cherche. Après il faut calculer les autres intégrales. Pour on peut prendre le changement de variable avec Ce qui donne:


Un calcul similaire donne () pour .
On doit calculer les résidues:
et
Donc en reprennant tt:
Ce qui donne donc


En utilisant le deuxième domaine on prend simplement la somme des résidues se trouvant dans le domaine d'intégration et on trouve
J'espère avoir été le plus clair possible.
Où se trouvent les erreurs?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfbf094d]

Pour Zapple, il me semblait que cette relation sur l'intégrale était juste pour les pôles dont l'image est positive strictement or ici les deux pôles sont réels donc ont une image nulle.

Tu as raison.

[breukin]

Mais cette intégrale n'est pas définie, justement parce que 1 et –1 sont des pôles...
Eventuellement, on pourrait envisager des "valeurs principales", comme quand on parle de VP(intégrale dx/x).

[invite599652f3]

En effet, j'ai cherché un peu et j'ai trouvé que ce que je calculais c'était les valeurs principales, enfin je crois. Sinon pour ce genre d'intégration, le résultat dépendant du processus de limite que l'on utilise ce qui explique les valeurs différentes obtenues.
Ce que j'ai trouvé sur les valeurs principales n'était pas très détaillé. Est-ce que qq1 aurait une référence assez complète sur ce genre de sujet (vp et/ou intégrale ds le plan complexe) ??
En fait je voulais calculer cette intégrale car il fallait que je détermine y(t) tel que y(0)=y'(0)=0 et

avec les fonctions de Green G(t,t'). Je dois calculer l'intégrale ci-dessus qui est égale à . Maintenant si le résultat de cette intégrale ou vp dépend du type de chemin que je prend (ou des limites) comment savoir quelle est la vraie valeur de G(t,t'). J'ai vérifié et seul le résultat de l'intégrale obtenu par le domaine 2 me donne un y(t) satisfaisant l'éq diff. La démarche serait de vérifier avec tt les domaines que l'on peut penser (si on pense encore au bon domaine...) et regarder si le résultat vérifie l'eq diff ou il existe une meilleure façon de faire en utilisant les fonctions de Green pour déterminer ce y(t)?
Merci d'avance.