Dérivation sous le signe intégrale

invite43219988 · 07/01/2008 - 22h22

Bonjour !
Je dois montrer le résultat suivant :

Soit $\psi \in C_0^1(R)$ tel que $\psi(x)\geq 0$ pour tout x réel et $\int_R \psi(x)dx=1$
Soit également $g\in H^1(R)$ une fonction à support compact.
Pour tout n entier naturel strictement supérieur à 0, on définit gn : R -> C par
$g_n(x)=n\int_R \psi(n(x-y))g(y)dy$ , $x\in R$
Je dois montrer que
$g_n'(x)=n\int_R \psi(n(x-y))g'(y)dy$
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre et plus généralement, je ne vois pas bien comment manipuler les produits de convolution.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer...

J'ai un autre problème issu d'un autre exo qui n'a rien à voir :

Comment calculer :

$\sum_{n\in Z}\int_R e^{-a|x|}e^{-inx}dx$ a>0 ???
Mon problème, c'est que si j'intègre, la convergence aux bornes dépend de n, et si j'intervertis le signe somme intégrale (en supposant que j'en ai le droit), la convergence de ma somme dépenddu signe de x...)

Au passage, si quelqu'un connait un lien avec un résumé des résultats classiques de convergence de séries, d'intégrales, interversion limite-integrale, somme-limite etc... (théorie de la mesure bienvenue !!)
Bonne soirée.

God's Breath · 07/01/2008 - 22h56

Envoyé par Ganash

Soit $\psi \in C_0^1(R)$ tel que $\psi(x)\geq 0$ pour tout x réel et $\int_R \psi(x)dx=1$
Soit également $g\in H^1(R)$ une fonction à support compact.
Pour tout n entier naturel strictement supérieur à 0, on définit gn : R -> C par
$g_n(x)=n\int_R \psi(n(x-y))g(y)dy$ , $x\in R$
Je dois montrer que
$g_n'(x)=n\int_R \psi(n(x-y))g'(y)dy$
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre et plus généralement, je ne vois pas bien comment manipuler les produits de convolution.

Dans ce genre de problème, on fait souvent le changement de variable, y=z-x, pour "passer" le x dans la fonction que l'on veut dériver, puis en y après dérivation.

J'ai un autre problème issu d'un autre exo qui n'a rien à voir :

Envoyé par Ganash

Comment calculer :

$\sum_{n\in Z}\int_R e^{-a|x|}e^{-inx}dx$ a>0 ???
Mon problème, c'est que si j'intègre, la convergence aux bornes dépend de n, et si j'intervertis le signe somme intégrale (en supposant que j'en ai le droit), la convergence de ma somme dépenddu signe de x...)

L'intégrale $\int_R e^{-a|x|}e^{-inx}dx$ est facilement calculable, non ?

invite43219988 · 07/01/2008 - 23h21

Dans ce genre de problème, on fait souvent le changement de variable, y=z-x, pour "passer" le x dans la fonction que l'on veut dériver, puis en y après dérivation.

Dans mon cas ce serait pas plutôt y=x-z ?
Parce que sinon y'a toujours un x dans ma fonction PSI.
On dérive, puis on pose z=x-y et ca à l'air de marcher !
Merci bien.

Pour l'intégrale en fait je vois bien comment déterminer la primitive mais je vois pas bien comment je pourrais obtenir quelque chose de réel (parce que c'est ce que je veux).
Enfin j'imagine que les parties imaginaires s'annulent...
Je vais essayer ça !

God's Breath · 08/01/2008 - 05h50

Envoyé par Ganash

Dans mon cas ce serait pas plutôt y=x-z ?

Oui, c'est effectivement ça.

Envoyé par Ganash

Pour l'intégrale en fait je vois bien comment déterminer la primitive mais je vois pas bien comment je pourrais obtenir quelque chose de réel (parce que c'est ce que je veux).

L'intégrale étant réelle, tout mode calcul doit donner un résultat final réel...