Les entiers naturels sont ils discontinus ou même continus dans N ?

[invite2b8efa9a]

Bonjour,

Je me posais une (ou plutôt trois) question(s) suite à une discussion sur un autre forum touchant à la physique.

1. Si on prend la suite des entiers naturels dans R, on tombe sur un ensemble discontinu mais si l'on prend cette même suite dans N est on toujours discontinu ? Si non, est il pour autant continu ?

2. Plus généralement, un ensemble peut il être discontinu dans lui même ?

3. Même question mais avec une petit subtilité, un espace peut il être discontinu dans lui même ?

Merci d'avance,
Rémi

[invite769a1844]

Bonjour, c'est quoi un ensemble continu et un ensemble discontinu?

[Deedee81]

Bonjour, c'est quoi un ensemble continu et un ensemble discontinu?

Bonjour,

Terminologie très abusive de physicien

C'est plutôt discret qu'il convient de dire (dans le fil en question sur le forum de physique, c'est ce "toy modèle" que j'envisageais).

[invite769a1844]

Bonjour,

Terminologie très abusive de physicien

C'est plutôt discret qu'il convient de dire (dans le fil en question sur le forum de physique, c'est ce "toy modèle" que j'envisageais).

ok c'est pas la même notion que je connais.

donc continu = non discret c'est bien ça? et discret = intérieur vide?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

ok c'est pas la même notion que je connais.

donc continu = non discret c'est bien ça? et discret = intérieur vide?

Euh, si tu prends un cercle dans le plan, il est d'intérieur vide mais "continu"! Et si tu considères la réunion disjointe de deux intervalles de R, cet ensemble n'est pas "continu". Peut-être que par "continu", faut-il entendre "connexe par arc"?

[invite769a1844]

Euh, si tu prends un cercle dans le plan, il est d'intérieur vide mais "continu"! Et si tu considères la réunion disjointe de deux intervalles de R, cet ensemble n'est pas "continu". Peut-être que par "continu", faut-il entendre "connexe par arc"?

mais comment tu sais alors que ces espaces sont continus ou non, sans être sûr de la définition de "continu", je ne comprends pas

[invite986312212]

salut,

je crois que tu devrais regarder du côté de la topologie, et notamment des notions de point limite, d'ensemble dérivé, d'espace complètement discontinu, etc.

[invite769a1844]

salut,

je crois que tu devrais regarder du côté de la topologie, et notamment des notions de point limite, d'ensemble dérivé, d'espace complètement discontinu, etc.

Merci, dans le choquet ces notions n'ont pas l'air d'être abordé, et je n'en ai jamais entendu parler, si tu as des liens ou des références d'ouvrages qui en parlent, ça m'intéresse

[invite986312212]

"point limite" c'est une notion proche de celle de "point adhérent". Un point x est point-limite d'une partie A d'un espace topologique E si tout ouvert contenant x contient un point de A distinct de x (pour point adhérent, le point de A n'est pas nécessairement distinct de x). Ainsi, tout point de A est adhérent à A mais pas toujours point limite de A.

l'ensemble dérivé de A est l'ensemble des points limites de A.

un espace topologique est totalement discontinu si les singletons sont ouverts (plus très sûr, c'est des vieux souvenirs).

[invite769a1844]

"point limite" c'est une notion proche de celle de "point adhérent". Un point x est point-limite d'une partie A d'un espace topologique E si tout ouvert contenant x contient un point de A distinct de x (pour point adhérent, le point de A n'est pas nécessairement distinct de x). Ainsi, tout point de A est adhérent à A mais pas toujours point limite de A.

l'ensemble dérivé de A est l'ensemble des points limites de A.

un espace topologique est totalement discontinu si les singletons sont ouverts (plus très sûr, c'est des vieux souvenirs).

D'accord, en fait je connaissais ces notions mais sous des nominations différentes, ce que tu appelles point limite, j'appelle ça point d'accumulation, et espace totalement discontinu, j'appelle ça espace muni de la topologie discrète.

Par contre "continu" (dans le sens de Birdland), je ne vois toujours pas ce que c'est.

[invite986312212]

tiens c'est marrant, pour moi un point d'accumulation c'est: tout ouvert contenant ledit point doit contenir une infinité de points de A. comme quoi tout n'est pas normalisé.

[invite57a1e779]

D'accord, en fait je connaissais ces notions mais sous des nominations différentes, ce que tu appelles point limite, j'appelle ça point d'accumulation, et espace totalement discontinu, j'appelle ça espace muni de la topologie discrète.

Par contre "continu" (dans le sens de Birdland), je ne vois toujours pas ce que c'est.

Les définitions sont parfaitement normalisées :

Un espace totalement discontinu, c'est un espace dans lequel la composante connexe de tout point est réduite à ce point.

Un espace discret, c'est un espace dans lequel tout singleton est ouvert.

Un espace discret est ainsi totalement discontinu.

Pour la topologie usuelle (une base d'ouverts est constituée des intervalles ) : est discret et totalement discontinu, est totalement discontinu, mais non discret (aucun singleton n'est ouvert).

Le point est adhérent au sous-ensemble , c'est : pour tout voisinage de , on a .

Le point est point d'accumulation du sous-ensemble , c'est : pour tout voisinage de , on a .

La notion de point limite est définie pour les filtres. Le point est point limite du filtre , c'est : tout voisinage de appartient à .

[invite9c9b9968]

Hello,

Tant que l'on n'aura pas défini de quelle topologie l'on parle, cette discussion n'a aucune direction possible...

[invite769a1844]

Si on a la même définition, pour moi un espace est continu si il est compact et connexe. Et je suppose que discontinu = non continu.

Donc IN muni de la topologie induite de IR (ie muni de la topologie discrète) est un espace discontinu, car ni compact ni connexe, du coup ça fait un exemple pour la 3, et ma définition s'applique sur des espaces et non des ensembles.

[invited5b2473a]

Si on a la même définition, pour moi un espace est continu si il est compact et connexe. Et je suppose que discontinu = non continu.

R est continu mais n'est pas compact...

[invite2b8efa9a]

Un espace peut il être discontinu dans lui même ? c'est ça le vrai problème

Restons avec les espaces, ça me va encore mieux