Théorème limite de la dérivée

mamono666 · 05/02/2008 - 14h18

Bonjour,

Lorsque je veux montrée qu'une fonction dérivable est continue un point. La dérivée étant définit par:

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{a\} \\ f(a) & \qquad \mathrm{si}\quad x = a \\ \end{array} \right. $

alors je peux faire:

$ \lim\limits_{\begin{array}{l} x \to a\\ \end{array}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a) $

et voir si cela coïncide avec la définition de la fonction $f'(a)$ .

ou, et c'est la que je me pose la question. Est ce que je peux dire:

$\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{a\} \quad , \quad f'(x) = \quad \ldots$

puis,

$ \lim\limits_{\begin{array}{l} x \to a^{+}\\ \end{array}} f'(x) = \quad \ldots $

$ \lim\limits_{\begin{array}{l} x \to a^{-}\\ \end{array}} f'(x) = \quad \ldots $

et voir si cela coïncide avec $f'(a)$

PS: je ne sais pas si c'est correcte, mais j'ai supposé que pour f définit comme si dessus alors f' etait serait alors:

$ f'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} f'(x) & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{a\} \\ f'(a) & \qquad \mathrm{si}\quad x = a \\ \end{array} \right. $

merci de votre aide.

Gwyddon · 05/02/2008 - 14h42

Bonjour,

Ta définition (1) (la première de ton post) est bizarre...

mamono666 · 05/02/2008 - 15h31

oui, je suis allé vite, disons plutôt pour f:

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} g(x) & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{a\} \\ \beta & \qquad \mathrm{si}\quad x = a \\ \end{array} \right. $
et f':

$ f'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} g'(x) & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{a\} \\ \gamma & \qquad \mathrm{si}\quad x = a \\ \end{array} \right. $

avec g(x) une certaine fonction de x que l'on connait.

Gwyddon · 05/02/2008 - 15h33

Ok, maintenant avec ces notations, quelle est ta question ?

mamono666 · 05/02/2008 - 15h36

si je veux savoir si la dérivée est continue en a, dois obligatoirement faire:

$ \lim\limits_{\begin{array}{l} x \to a\\ \end{array}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a) $

et voir si cela coïncide avec la définition de la fonction $f'(a) = \gamma$ .

ou puis regarder la limite de $g'(x)$ en a et voir si elle vaut $\gamma$

ericcc · 05/02/2008 - 16h08

Déjà il n'est pas évident que ta fonction f soit continue en a, avec tes notations...
SI elle l'est, alors ta première accolade est inutile.
Pour la deuxième : si g'(x) est continue en a, et que g'(a)="gamma", pas de problème. Si g'(x) est continue et que g'(a) est différent de gamma, tu as un problème !
Si g'(x) n'est pas continue, tu fais le calcul direct et tu regardes les limites de g' à droite et à gauche pour voir sa continuité.

mamono666 · 05/02/2008 - 16h24

ok merci de votre réponse.

oui, c'est pour f continue.

En fait, je rencontrais cela dans des exercices qui proposent de vérifier en premier lieu la continuité de f, puis de f'. Et à chaque fois il passe par la variation de f pour prouver que f' est continue et jamais par la limite de celle-ci, d'où ma question.

Mais si jamais j'ai par exemple:

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{sin(x)}{x} & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{0\} \\ 1 & \qquad \mathrm{si}\quad x = 0 \\ \end{array} \right. $

Autre question, ai-je le droit de dire que la dérivée sera:

$ f'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{cos(x)}{x} - \frac{sin(x)}{x^2} & \qquad \mathrm{si}\quad x\in \mathbb{R}\backslash\{0\} \\ 0 & \qquad \mathrm{si}\quad x = 0 \\ \end{array} \right. $

En gros, ai-je le droit de dérivée chaque "morceau" d'abord sur R\{0} puis en 0??

(la dérivée dans ces exercices n'étais pas encore définie, c'est peut être pour cela qu'il ne passait pas par la limite de la dérivée comme je le demandais, mais par la méthode de variation

)

Gwyddon · 05/02/2008 - 16h27

Ta dérivée est correcte, tu peux maintenant essayer de voir si f' est continue ou pas

mamono666 · 05/02/2008 - 16h43

oui, donc là ça marche. donc on peux effectivement directement passer par la limite de la dérivée au lieu de passé par la limite de la variation de la fonction initiale.

merci à vous

Gwyddon · 05/02/2008 - 16h47

Envoyé par mamono666

oui, donc là ça marche. donc on peux effectivement directement passer par la limite de la dérivée au lieu de passé par la limite de la variation de la fonction initiale.

merci à vous

Attention, les deux sont nécessaires.

En effet la dérivée en zéro c'est par définition la limite du taux de variation en zéro. Donc comme ta fonction f présente une singularité (a priori) en zéro, tu DOIS calculer la dérivée en zéro en repassant par la définition, car tu ne sais pas a priori si cette dérivée existe.

Ce n'est QUE dans un second temps que tu peux regarder la limite de la dérivée f' définie pour un réel différent de zéro, en zéro ; alors à ce moment là tu pourras conclure quant à la continuité de ta fonction f'.

Les deux étapes sont donc essentielles.

mamono666 · 05/02/2008 - 16h58

ah oui ok, je comprend mieux. Moi j'avais dérivée la constante....

merci

Gwyddon · 05/02/2008 - 17h05

[QUOTE=mamono666;1525960]ah oui ok, je comprend mieux. Moi j'avais dérivée la constante....

[/quote]

Oulà ! Grave erreur en effet...

Tu as eu de la chance qu'ici ça marche...

merci

Pas de quoi, l'essentiel est que tu aies compris après

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