Est-il possible de réaliser un déplacement continu sur l'axe de nombres réels?

[invite33b26c8f]

Est-il possible de réaliser un déplacement continu sur l'axe des nombres réels?
-----

[ericcc]

Comme disaient les Inconnus dans leur fameux sketch :
"Vous pouvez répéter la question ?"

[invite33b26c8f]

La définition mathématique de la continuité est assez rigoureuse: la continuité d'une fonction, la continuité uniforme, etc.. Mais des matières comme la physique emprunte le mot "continu" aux mathématiques et parle de "temps continu" ou d'"espace continu". Ces concepts vu dans ce cadre là ne sont évidents à concevoir et pourtant la nature semble réussir ces circulations continues, notamment celle du temps. La question était donc de savoir s'il existe un moyen de traduire cela en mathématiques?

[Theyggdrazil]

Quand on parle d'espace continu ou de temps continu, le terme continu est à mettre en rapport avec la notion de "puissance du continu", par opposition à espace discret ou temps discret.

Je vous invite à vous renseigner sur ce qu'est la puissance du continu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

La définition mathématique de la continuité est assez rigoureuse: la continuité d'une fonction, la continuité uniforme, etc.. Mais des matières comme la physique emprunte le mot "continu" aux mathématiques et parle de "temps continu" ou d'"espace continu". Ces concepts vu dans ce cadre là ne sont évidents à concevoir et pourtant la nature semble réussir ces circulations continues, notamment celle du temps. La question était donc de savoir s'il existe un moyen de traduire cela en mathématiques?

Une application continue vérifie-t-elle ce que l'on attend réellement ?
Pour l'instant restons en "dimension 1" (des guillemets car ça reste à définir, pour l'instant ça reste au niveau intuitif).
La 1ère idée intuitive derrière la continuité est que les objets sont placés les uns après les autres donc ils sont rangés, mathématiquement on parle d'ordre. Une dimension, temporelle ou spatiale, continue est déjà un ensemble ordonné.
Maintenant, si on prend deux objets x et y alors il existe un objet z distincts de x et de y compris entre les deux (en terme d'ordre on a par exemple x<z<y). Ainsi, l'espace discret Z (les entiers) ne convient pas pour cette raison à l'idée que l'on se fait de la continuité. Par contre Q (les rationnels) jusqu'ici convient : entre deux rationnels x et y il y a entre autres (x+y)/2.
Est-ce suffisant ? non prenons par exemple la fonction f : {rationnels positifs}->[0,1]
qui à x associe 0 si x<0 ou x²<2 et 1 sinon.
f est continue en tout point si (p/q)²<2 alors pour a entier assez grand on a (a-p)²>1+p², le second membre est fixe, soit a²-2ap>1 a²>2ap+1. Or 2q²-p²>0 et entier donc 2q²-p²>=1 et donc a²(2q²-p²)>2ap+1 d'où 2(aq)²>a²p²+2ap+1=(ap+1)² bref ((ap+1)/(aq))²<2 avec (ap+1)/(aq)>p/q. Donc sur [-infini ; (ap+1)/(aq)[, intervalle qui contient p/q, f est constante donc continue. De même, pour les rationnels p/q tels que (p/q)²>2 alors f est localement constante et continue.
Mais cette fonction continue partout fait un "saut de hauteur 1", c'est donc que le problème vient de Q. En effet, Q peut se diviser en deux ouverts distincts U1 et U2 et on peut définir une application f constante égale à 0 sur U1 et constante égale à 1 sur U2, autrement dit Q n'est pas connexe.
Dernière condition : être connexe.
Ordonné, dense, connexe : R remplit ces conditions (et c'est à peu près le seul).
connexe dans ce cadre (ordonné, dense) est équivalent, entre autres, à :
Si on a deux parties X et Y tels que pour tous x dans X et y dans Y x<=y alors il existe z tels que x<=y<=z pour tous x dans X et y dans Y (racine de 2 est en gros un trou dans Q qui n'existe plus dans R).
R est ainsi construit en comblant les "trous" de Q, càd les "z" absents dans Q séparant deux parties X et Y pour lesquels il existe des éléments x et y aussi proches que l'on veut (intuitivement l'écart entre les deux est nul).
Et en gros si on remplit trop Q alors on perd la densité (si on ajoute un "0,9999..." distinct de 1 alors on a un espace vide entre deux objets) ou la connexité.
Le théorème des valeurs intermédiaires est alors vrai, si on passe continuement de a à b alors on passe par toutes les valeurs entre a et b.
Donc oui un déplacement continu est possible sur R qui a d'ailleurs était construit pour cela.
Trop petit ou trop gros ce n'est plus possible d'où un ensemble qui a le "même nombre" d'éléments que R (=on peut le mettre en relation biunivoque avec R) est dit de la puissance du continu.