réciproque d'un automorphisme de Rn[X]

[florian-LR]

Bonjour,

Je ne connais pas la méthode pour la question suivante.
Soit f une application linéaire de Rn[X] dans Rn[X], définie par :
f(P)(X) = P(X) - P'(X).
La premiere question, que j'ai résolu, était :
Montrer que f est un automorphisme de Rn[X].
J'ai simplement montré que f est un endomorphisme de Rn[X], puis j'ai montré que Kerf={0} d'ou j'en ai déduit que f est est bijective, et donc que que f est
bien un automorphisme de Rn[X].
Maintenant on me demande :
Définir .
Je ne sais pas comment commencer. J'avais pensé à utiliser la définition d'un polynome telle que : . Mais ça ne me semble sans intérêt.

Merci d'avance pour votre aide.

[homotopie]

Tu as à résoudre l'équation différentielle y-y'=Q(x) ou y'-y=-Q(x)avec Q un polynôme.
Rien n'interdit de se placer d'abord dans un ev plus grand que les polynômes, plaçons nous d'abord dans les fonctions dérivables.
L'éq diff se résoud alors en intégrant l'eq. diff sans second membre y'-y=0.
Puis pour trouver les solutions de y'-y=Q(x) la méthode de variation de la constante fonctionne très bien ici, ça fait apparaître une intégrale avec une borne à choisir.
Maintenant, ceci donne une infinité de solutions dépendant continûment d'un paramètre, une de ces solutions est un polynôme (puisque f est bijective). Un polynôme R(x) vérifie, entre autres, R(x)/e^x tend vers 0 quand x tend vers -infini. En choisissant bien la borne, l'intégrale présente dans l'expression de la solution tend vers 0, ceci impose que la constante soit nulle.
Et on conclut ainsi : parmi les solutions une seule peut-être un polynôme, d'une part, d'autre part on a montré qu'un polynôme est solution donc cette solution dans les fonctions dérivables est bien un polynôme et est donc solution de l'équation dans Rn[X] de f(.)=Q.

[Médiat]

homotopie : ta solution marche très bien, mais trouver la réciproque d'une base bien choisie de l'ev des polynômes n'est pas très compliqué non plus .

[indian58]

Tu as à résoudre l'équation différentielle y-y'=Q(x) ou y'-y=-Q(x)avec Q un polynôme.
Rien n'interdit de se placer d'abord dans un ev plus grand que les polynômes, plaçons nous d'abord dans les fonctions dérivables.
L'éq diff se résoud alors en intégrant l'eq. diff sans second membre y'-y=0.
Puis pour trouver les solutions de y'-y=Q(x) la méthode de variation de la constante fonctionne très bien ici, ça fait apparaître une intégrale avec une borne à choisir.
Maintenant, ceci donne une infinité de solutions dépendant continûment d'un paramètre, une de ces solutions est un polynôme (puisque f est bijective). Un polynôme R(x) vérifie, entre autres, R(x)/e^x tend vers 0 quand x tend vers -infini. En choisissant bien la borne, l'intégrale présente dans l'expression de la solution tend vers 0, ceci impose que la constante soit nulle.
Et on conclut ainsi : parmi les solutions une seule peut-être un polynôme, d'une part, d'autre part on a montré qu'un polynôme est solution donc cette solution dans les fonctions dérivables est bien un polynôme et est donc solution de l'équation dans Rn[X] de f(.)=Q.

Ou bien, tu veux résoudre P-P'=Q avec P polynôme inconnu de Rn[X] (car f est un automorphisme de Rn[X]). Ecris P=Somme(akX^k) et Q=Somme(bkX^k). Injecte ces expressions dans l'équations et identifie ensuite les coefficients entre eux.

[florian-LR]

Avant tout, merci pour votre rigueur, cela me donne envie de structurer encore mieux mes raisonnements. Ensuite, il est vrai que j'avais vu l'équation différentielle mais sans vraiment voir comment en déduire une solution exacte obtenue à partir du polynôme du second membre Q.
Maintenant j'aimerais vous poser quelques petites questions relatives à vos explications. Pourquoi est-il nécessaire d'attribuer à la borne inférieur la valeur - infini sachant que pour une valeur quelconque de la constante d'intégration on obtiendra quand même un polynôme à la fin? La solution polynomiale correspond en fait à la solution particulière polynomiale + la solution générale ayant pour constante multiplicative 0, non?
Apres résolution de l'équa. diff. je trouve comme unique solution polynomiale
R(x), l'intégrale de [tex]-Q(t)e^t[tex], ayant pour bornes - infini et x, multipliée par [tex]e^{-x}[tex]. C'est bien ça?

En tout cas merci pour votre aide.

[Ledescat]

Je pense que la méthoe d'identification des coefficients est plus rapide, ou celle de Médiat (encore faut-il trouver la dite base ). Après chacun penche pour l'une ou l'autre des solutions..

[florian-LR]

Deux réponses pendant que je rédigeais mon message.

A Indian : oui c'était mon idée initiale, mais je ne sais pas sous quelle forme doivent s'écrire les solutions. A ce moment là, on a le systeme suivant :
et pour tout k variant de 0 à n-1, . Je me trompe?

A Médiat : comment trouve-t-on la réciproque d'une base? Il faut utiliser la matrice de f et l'inverser, non?

Merci à vous tous. Plusieurs solutions pour une même question, c'est ça qui me fait trouver les maths passionnantes.

[anonymus]

puis j'ai montré que Kerf={0} d'ou j'en ai déduit que f est est bijective

Ca montre pas plutot que f est injective ?

[homotopie]

Apres résolution de l'équa. diff. je trouve comme unique solution polynomiale
R(x), l'intégrale de , ayant pour bornes - infini et x, multipliée par . C'est bien ça?

Ton intégrale ne converge pas.
Perso, je trouve plutôt :

Maintenant j'aimerais vous poser quelques petites questions relatives à vos explications. Pourquoi est-il nécessaire d'attribuer à la borne inférieur la valeur - infini sachant que pour une valeur quelconque de la constante d'intégration on obtiendra quand même un polynôme à la fin? La solution polynomiale correspond en fait à la solution particulière polynomiale + la solution générale ayant pour constante multiplicative 0, non?

En résolvant on a y=solution particulière dépendant d'une borne d'intégration+constante e^x, ce qui se transforme en y=polynôme solution +contante e^x, le hic c'est qu'il nous faut ce polynôme.
Maintenant, soit on fixe la borne a et on calcule la constante grâce au comportement asymptotique du polynôme ce qui donne

puis regarder la limite quand x tend vers +infini, on obtient
Soit on cherche à éliminer la constante et on cherche a et on trouve a=+infini.
Dans les deux cas on aboutit à la même solution.

Sinon je suis d'accord qu'il y a plusieurs méthodes pour expliciter f ^-1, mais la mienne est plus condensée (et moins calculatoire, donc moins source d'erreur de calcul quoique..., on rédige un peu plus mais je préfère cela à des longues lignes de calculs)
Entre cette expression et celle donnant l'expression de f ^-1 dans une base ce sont les questions suivantes qui vont déterminer la plus intéressante. Si le prolongement est plutôt de nature analytique, """mon""" expression est a priori très bien adaptée, si le prolongement est purement algébrique (notamment si on calcule les réciproques de polynômes particuliers) alors cette démarche est une perte de temps (pour calculer à partir de celle-ci il faut en gros refaire tout le travail).

Sinon, si c'est la dernière question, alors on peut prendre deux bases distinctes et faire très vite dans la base f(1), f(X), f(X²)... on a f^-1(aⁿf(Xⁿ)+...+a₁f(X)+a₀)=aⁿXⁿ+...+a₁X+a₀ ; ceci définit f ^-1 aussi.
Ou encore plus rapide "f ^-1 est la réciproque de f", ça définit f ^-1 de manière unique non ?, il ne reste plus qu'à convaincre l'enseignant que pour exiger une réponse plus précise il faut des questions plus précises.

[florian-LR]

A homotopie :
Je ne sais pas ce qu'on demandait ni ce que j'avais fait à l'époque, car c'était un exercice de DS. Mais sinon, au temps pour moi, je suis d'accord pour l'expression du polynôme recherché. Mon intégral ne convergeait pas car j'ai fait une étourderie en écrivant la solution générale ... (j'ai honte..)


A anonymus :
Oui c'est vrai, mais avec le théorème du rang (par exemple), sachant que f est un endomorphisme de E (car automorphisme de E) et que dim Kerf = 0 alors f est bijective.

[Médiat]

A anonymus :
Oui c'est vrai, mais avec le théorème du rang (par exemple), sachant que f est un endomorphisme de E (car automorphisme de E) et que dim Kerf = 0 alors f est bijective.

Dans un espace de dimension infinie ... .

[QUOTEflorian-LR;1554111]A Médiat : comment trouve-t-on la réciproque d'une base? Il faut utiliser la matrice de f et l'inverser, non? [/quote]Comme l'a suggéré homotopie, tu choisies la base , montrer que c'est bien une base est évident (question de dégré du polynôme), et

[florian-LR]

Rn[X] est bien un e.v. de dimension finie à ce que je sache... Alors je ne vois pas de gene à utiliser le théorème du rang.

Désolé mais je ne comprend pas quelle base on choisit.

[Médiat]

Rn[X] est bien un e.v. de dimension finie à ce que je sache... Alors je ne vois pas de gene à utiliser le théorème du rang.

Ooops, j'avais pas vu le n

Désolé mais je ne comprend pas quelle base on choisit.

f(1), f(X), ... f(X^n)

[snodo]

bonjour,
pour resoudre P-P'=Q
P-P'=Q
p'-P"=Q'
p"-p'''=Q"
on dérive jusqu'a n alors on aura :
la derivee d'ordre n de p - la derivee d'ordre n+1 de p = la derivee d'ordre n de Q on sommant ses egalités on trouve:
(p-p')+(p'-p'')+(p"-p''')+.......+( la dérivée n-ième de p-la dérivée n+1-ième )=Q+Q'+Q"+Q'''+........+la dérivée n-ième de Q.
donc p=Q+Q'+Q"+Q'''+............... +la dérivée n-ième de Q.

[homotopie]

bonjour,
pour resoudre P-P'=Q
P-P'=Q
p'-P"=Q'
p"-p'''=Q"
on dérive jusqu'a n alors on aura :
la derivee d'ordre n de p - la derivee d'ordre n+1 de p = la derivee d'ordre n de Q on sommant ses egalités on trouve:
(p-p')+(p'-p'')+(p"-p''')+.......+( la dérivée n-ième de p-la dérivée n+1-ième )=Q+Q'+Q"+Q'''+........+la dérivée n-ième de Q.
donc p=Q+Q'+Q"+Q'''+............... +la dérivée n-ième de Q.

Bien vu !