Probabilité statistique

[Sbors]

Bonsoir,

J'ai ici un exercice, somme toute très théorique, pour lequel je suis confus...

Soit X1,...,Xn, n variables aléatoires indépendantes de même distribution, de moyenne égale à 500 et d'écart type égal à 20.

Soit: Z = (X1+...+Xn)/n

Que vaut la variance Z ?

Il y a plusieurs propriétés qui doivent suffire mais je ne comprend pas comment les combiner.

Si Y = a + bX

L'écart type Sy = |b|Sx et la moyenne My = a + bMx


Si Y = X1 +/- X2 +/-...+/- Xk

My = Mx1 +/- Mx2 +/- ... +/- Mxk

Sy² = Sx1² + Sx2² + ... + Sxk²


Merci d'avance
-----

[invite15e03428]

Salut

S'il s'agit d'une distribution normale tu peut aplliquer le théorème central limite. je ne sais pas si tu as vu ce théorème..mais quand meme pour calculer la variance de Z il faut passer par l'écart type de Z je vais te donner la formule mais en fait je ne suis pas sur.






avec S:l'écart type et V: la variance

bon courage.

[Garf]

La variance de la somme finie de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances. Ca se redémontre très facilement en repartant de la définition de la variance et en l'appliquant X+Y, X et Y variables aléatoires indépendantes.
De plus, Var (aX)=|a|^2.Var(X).

[Sbors]

Buraq: Je ne trouve pas dans mon cours les formules que tu m'as données sinon je ne vois pas trop comment faire.

Sz = 20 / rac(n) => Vz = 400 / n = (X1+...+Xn)/ n, mais comment trouver n ?

400 ?=? (X1+...+Xn)

et Mx (ou Mz, je ne sais plus trop) = (X1+...+Xn)/ n = 500

???==>??? Vz = 500

Garf, quant tu écris la variance de la somme finie de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances c'est équivalent à la formule que j'avais mise ?

Sy² = Sx1² + Sx2² + ... + Sxk²

Sinon je n'ai pas bien compris à quoi sert la formule V(az) = |a|² V(z)
ici le a c'est quoi ? 1 / n ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15e03428]

Salut,

Désolé, je me suis trompé..j'ai pensé que les X1,X2,...Xn sont des valeurs individuelles alors qu'ils sont des variables aléatoires..examinons les choses du plus près: d'après ce que j'ai compris chaque variable (1<=i<=n) a la meme distribution, meme moyenne( 500), et meme écart type (20).

maintenant nous allons construire un autre variable aléatoire Z qui est la somme des varibales Xi divisée par n..dans ce cas pour calculer la variance de ce nouveau variable il suffit tout simplement appliquer les formules classiques qui ont été mentionnées par Garf à savoir:



si X et Y sont deux variables indépendantes (comme dans notre cas) on aura:





donc il ne reste qu'à appliquer les formules.

[Sbors]

Désolé de mon absence, j'ai eu quelques problèmes avec ma connection internet.

Donc ici on aurait :

Var ((X1+...+Xn)/ n) = (Var (X1) + ... + Var (Xn)) / n² ??

=> Var (Z) = (n . (20)²) / n² = 400 / n

Dés lors, comment fait-on pour trouver n ?

Avec la moyenne ??

[GuYem]

On ne te demande pas de trouver n.

[Sbors]

Comment trouver la variance autrement ?

[GuYem]

Tu as trouvé la variance, c'est 400/n.

Si n=2 ... bin ça fait 200.
Si n=200 ... bin ça fait 2 !

Ce que tu as obtenu, c'est une formule générale pour la variance en fonction de n.

[Sbors]

Non je dois trouver la valeur exacte de la variance

[GuYem]

Tu es tétu un peu !
Si on ne te donne pas la valeur de n dans l'exercice, tu ne peux pas la deviner.

[Sbors]

Va expliquer ça à mon prof de stat, c'est une question d'examen, il doit y avoir un moyen de supprimer n.

[GuYem]

Non il n'y a pas !

Ta question revient à " Je mets n pièces de monnaie dans ma poche, combien ai-je de pièces de monnaies dans ma poche ? ".

Laisse 400/n et tu auras bon ; sauf si il y a quelque part dans l'énoncé un truc que tu n'as pas vu et qui te permet de trouver n.

[Sbors]

Pourquoi donnerait-on la valeur de la moyenne alors ???
Il faut l'utiliser !!!

[GuYem]

En effet c'est étrange, il semblerait que la moyenne ne serve pas ici. Il y a d'autres questions ?

[Sbors]

C'est pas étrange, c'est impossible:
Jamais un prof ne met de données superflue à un examen (ici en tous cas) !
Et il faut la valeur exacte, pas à une constante près.

[invite986312212]

C'est pas étrange, c'est impossible:
Jamais un prof ne met de données superflue à un examen (ici en tous cas) !

hum, tu n'as jamais été confronté au sadisme de certains profs...
de toutes façons la donnée de la moyenne ne permet pas de calculer n puisque Z a pour moyenne 500 quel que soit n.

[invite15e03428]

Salut,

je vois un malentendu ici..la variance ou bien l'écart type est tjrs fonction de la taille de l'échantillon n plus précisement l'écart type diminue avec n..en effet je donne un exemple pour que ça soit clair.

Soit X le résultat d'un dé on lance n fois ce dé..calculons maintenant la valeur moyenne obtenue et l'erreur ?!!

Réponse: posons les résultats des n lancers. tous les dés sont identiques, donc les ont tous la meme valeur moyenne que l'on note et la meme variance (que l'on note .On s'intérèsse à la variable on a d'abord : . De la meme manière, comme les variables sont indépendantes, on a l'écart type de z est donc fois plus petit que l'écart type de . quand n est grand cet écart type tend vers 0, ce qui signifie que que la valeur typique de est très proche de sa valeur moyenne, avec une différence d'ordre . c'est ce qu'on apelle la loi des grands nombres.

Bon courage


Bur@q

[GuYem]

Salut,

je vois un malentendu ici..la variance ou bien l'écart type est tjrs fonction de la taille de l'échantillon n plus précisement l'écart type diminue avec n..en effet je donne un exemple pour que ça soit clair.

Soit X le résultat d'un dé on lance n fois ce dé..calculons maintenant la valeur moyenne obtenue et l'erreur ?!!

Réponse: posons les résultats des n lancers. tous les dés sont identiques, donc les ont tous la meme valeur moyenne que l'on note et la meme variance (que l'on note .On s'intérèsse à la variable on a d'abord : . De la meme manière, comme les variables sont indépendantes, on a l'écart type de z est donc fois plus petit que l'écart type de . quand n est grand cet écart type tend vers 0, ce qui signifie que que la valeur typique de est très proche de sa valeur moyenne, avec une différence d'ordre . c'est ce qu'on apelle la loi des grands nombres.

Bon courage


Bur@q

Salut Buraq,
je ne comprends pas ce que ta réponse apporte au problème présent.

[invite15e03428]

Bonsoir,

et c'est quoi le problème?!! qu'est ce que t'as pas compris?

[GuYem]

Le problème, c'est que Sbors trouve une variance qui dépend de n et qu'il n'aime pas ça. Je n'ai pas compris ce que ton explication du théorème central-limite apporte ici.

[invite15e03428]

Le problème, c'est que Sbors trouve une variance qui dépend de n et qu'il n'aime pas ça. Je n'ai pas compris ce que ton explication du théorème central-limite apporte ici.

ça montre que tu n'as pas bien suivi la discussion..j'ai dis bien que ma première réponse était fausse (on ne peut pas appliquer le théorème central limite) après j'ai répondu autrement en faisant le calcul classique..et j'ai bien dis aussi que la variance dépend de n (en absence de toute autre indication) ..essayer de bien relire mes messages précédents