Théorème de convergence dominée

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, je me casse la tête depuis hier sur un exo qui me rend fou! Il s´agit de l´intégrale suivante:

I_n = intégrale (0 à n) (1 - x/n)ⁿ.lnx dx

il s´agit de pouvoir intervertir la limite et l´intégrale grâce au théorème de convergence dominée.

Mais toute la difficulté, et c´est là que je bloque, c´est de trouver un fonction g de x, intégrable sur ]0, +oo[ qui majore la valeur absolue de fn(x) = (1 - x/n)ⁿ.lnx

J´y ai passé la journée et j´ai fait que des c....

pardon mais... Ya des jours comme ça.

Merci d´avance.
Christophe
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[christophe_de_Berlin]

ou bien est-ce que je peux d´une façon ou d´une autre utiliser le Théorème Convergence Monotone? Mais ma fonction n´est pas positive.

[invite1237a629]

Salut,

On propose un truc, mais c'est ptet pas bon hein

Sépare ton intégrale en "de 0 à 1" et "de 1 à n"

Pour le premier, trouve un DL puisqu'on est proche de 0 et pour le deuxième : majoration par ln(x)

[christophe_de_Berlin]

Majoration par ln(x)? jamais de la vie! quand x augmente, la valeur absolue de (1-x/n)^n augmente aussi, donc comment veux-tu que la valeur absolue de (1-x/n)^n . ln(x) soit majorée par ln(x)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ben parce que 0 < 1-x/n < 1 et x reste < n puisqu'on est entre 0 et n. Donc (1-x/n)^n < 1

Mais c'est une idée comme ça hein

[Flyingsquirrel]

Salut

Ça n'est pas un problème d'avoir n comme borne supérieure de l'intégrale pour appliquer le théorème de CV dominée ?

[christophe_de_Berlin]

Salut

Ça n'est pas un problème d'avoir n comme borne supérieure de l'intégrale pour appliquer le théorème de CV dominée ?

ben si justement, c´est pour ca que je ne peux pas supposer x < n, je dois trouver une fonction g(x), évidement indépendante de n. Donc une majoration par ln(x) ne peut évidement pas marcher

[Flyingsquirrel]

Dans ce cas là il faut d'abord se débarrasser du n qui sert de borne par un changement de variable du type x=nt... et ça donne un intégrande qui diverge en l'infini.

[God's Breath]

Bonjour, je me casse la tête depuis hier sur un exo qui me rend fou! Il s´agit de l´intégrale suivante:

I_n = intégrale (0 à n) (1 - x/n)ⁿ.lnx dx

il s´agit de pouvoir intervertir la limite et l´intégrale grâce au théorème de convergence dominée.

Mais toute la difficulté, et c´est là que je bloque, c´est de trouver un fonction g de x, intégrable sur ]0, +oo[ qui majore la valeur absolue de fn(x) = (1 - x/n)ⁿ.lnx

Pour dans , on a et , donc .

Je considère la fonction définie sur par , alors la suite converge simplement vers et est, en valeur absolue, dominée par .

Le théorème de convergence dominée assure alors que converge vers .

Mais n'est autre que .
Le "truc", c'est de prolonger la fonction à intégrer par 0, afin d'avoir sur l'intervalle fixe au lieu de .

[God's Breath]

Petit supplément :

Comme et , la limite précédente s'exprime en fonction de la constante d'Euler :
.

[christophe_de_Berlin]

OH merci, je vais voir ça tout de suite, j´avais déjà presque abandonné

[christophe_de_Berlin]

mais dis moi: une question d´un tout autre ordre: comment fais tu pour insérer des formules comme ça dans tes réponses? Moi je connais que le mode texte

[christophe_de_Berlin]

Un grand merci , je viens d´analyser ta réponse ce matin, c´était exactement ce qu´il me manquait, cette prolongation par 0 pour x > n.
Je n´avais pas du tout pensé à poser d´autres conditions à f_n, j´ai cherché simplement une fonction de x qui domine f_n.

D´après ton supplément, ça a l´air d´être un résultat assez classique non?

[God's Breath]

Un grand merci , je viens d´analyser ta réponse ce matin, c´était exactement ce qu´il me manquait, cette prolongation par 0 pour x > n.
Je n´avais pas du tout pensé à poser d´autres conditions à f_n, j´ai cherché simplement une fonction de x qui domine f_n.

D´après ton supplément, ça a l´air d´être un résultat assez classique non?

Ce qui est classique c'est :
– de considérer l'intégrale sur en prolongeant la fonction par 0, afin d'utiliser le théorème de convergence dominée.
– de majorer par en utilisant le classique pour dominer la suite de fonctions.

La valeur de l'intégrale qui fournit la limite de la suite, qui ne doit pas être explicitement demandée dans ton exercice, est également classique dès que l'on est habitué à manipuler la fonction , mais cela utilise d'autres techniques que la convergence dominée.

[God's Breath]

mais dis moi: une question d´un tout autre ordre: comment fais tu pour insérer des formules comme ça dans tes réponses? Moi je connais que le mode texte

J'utilise les balises [tex], accessibles par le bouton TEX de la barre d'outils, qui permettent d'insérer des formules mathématiques.

[christophe_de_Berlin]

Et ou est-ce qu´on peut trouver une explication de la syntaxe de ces formules tex?

[christophe_de_Berlin]

je viens de trouver une explication sur wiki.

Quelle merveille ce truc!

[God's Breath]

je viens de trouver une explication sur wiki.

Quelle merveille ce truc!

Un gentil modérateur pourrait certainement de donner un lien vers un "tutoriel" sur le forum.

Toujours est-il que TEX est incontournable dans le domaine de la publication scientifique à l'heure actuelle, et que tout étudiant se doit de savoir l'utiliser.

[invitebb921944]

http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html

[christophe_de_Berlin]

D´accord, j´ai vu ça, ça a pas l´air dûr.