bonjour, je n'arrive pas à démarrer sur un exo dont voici le texte:
f : R^m ---> R^m continue
on prend Uo dans R^m et on pose Un+1=f(Un)
on suppose que (Un) possede une seule valeur d'adhérence
montrer qu'elle converge ??
avez vous une idée pour démarrer cet exo car j'ai du mal à cerner les valeurs d'adherences ,ayant vu pas mal de définitions différentes (mais surement équivalentes) qui me mettent un peu dans le flou
merci
jameso
Je pense qu'on doit pouvoir s'arranger en faisant la même démonstration que dans R.
Essaie de supposer qu'elle diverge...
Prend pour définition ici en tout cas, qu'une valeur d'adhérence est une limite de suite extraite.
Salut James,
Une proposition :
Déjà, si a = unique v.a. alors a=f(a) : f(u(phi(n)) -> f(a) = a par unicité)
Si u(n) n'est pas convergente, on peut en extraire une suite tq |u(phi1(n) - a | > eps > 0
On peut aussi extraire une suite disjointe tq | u(phi2(n)) - a | < eps, qui étant bornée converge vers a, unique v.a.
Ménant par C° en a=f(a) de f f reste "collée" à a si on s'en approche trop et on arrive à une contradiction.
salut quinto et µ²
en effet raisonner par l'absurde semble être une bonne idée
sinon µµtt il y a plusieurs points que je comprends pas bien
1) pourquoi f(a)=a ?
2) pourquoi (u(phi2(n)) est bornée ?
3) et j'ai du mal à suivre l'histoire du reste "collée" ie la conclusion
amicalement
james
Le f(a)=a est facile à voir, regarde:
En fait si a est une v.a, alors il existe une suite (vn) extraite de (un) qui converge vers a.
En particulier f(vn) converge vers f(a) puisque f est continue.
mais f(vn)=v(n+1) et comme vn converge vers a, (vn+1) converge également vers a.
Ainsi lim(f(vn))=lim(vn) mais lim(vn)=f(a) et lim(vn)=a donc f(a)=a par unicité de la limite dans R^m.
Ceci est ce que µ² a fait en 1e ligne (ou vn=u(phi(n)) avec ses notations)
Re James,
Bon le 1 ça doit être bon
2) a = limite d'une suite extraite que j'appelle u(phi2(n))
3) |x-a| < eps => |f(x)-a| < eps (qui à prendre eps plus petit)
Et oui, je note || la norme sur R^n pour simplifier
merci quinto et µ²;
pour 1) et 2) on est ok, mais pour 3): where is the contradiction ? je ne vois pas trop...peux tu une nouvelle fois éclairer ma lanterne?
merci pour tout
amicalement
james
tiens un autre sur les suites extraites et mes amis les epsilon :
j'aurai aimé savoir si ce que j'ai brouilloné est correct ou pas
(X,d) un métrique compact f:X---->X tel que pour tout a et b dans X
d(f(a),f(b))>=d(a,b)
le but est de voir que f est une isométrie
1) a,b dans X ,(an),(bn) avec ao=a et bo=b et an+1=f(an) et aussi bn+1=f(bn)
montrer que {(an,bn)} admet une sous suite convergente dans X*X
je pense que si X*X est muni de la topologie produit alors on peut dire que le produit d'espace compacts X*X est compact (tychonoff)
il existe alors une sous suite de {(an,bn)} convergente dans X (propriété de BW)
2)il faut en déduire que pour tout eps>0 il existe k,n dans N* tel que:
d(an,an+k)<eps et d(bn,bn+k)<eps
je pense à la caractérisation des suites de cauchy
je vais donc chercher à montrer que (an) et (bn) convergent
d'après 1) et par une double extraction de suites je conclus à la convergence de (an) et (bn)
3) il faut montrer que pour tout eps >0 il existe k dans N* tel que d(a,ak)<eps et d(b,bk)<eps
je n'en sais trop rien?
4)montrer que d(ak,bk)>=d(f(a),f(b))?
