Dérivation/mesure

[Quinto]

Salut,
j'ai un problème...
je n'arrive pas à saisir la différence entre la dérivation d'une fonction et de celle de la mesure de Borel Stiltjes associée (au sens des distributions).

Voila, par exemple, si je prend la fonction g défini par
g(x)=0 sur R-
g(x)=x sur R+

Il est clair que cette fonction a pour dérivée la fonction de Heaviside.
<g',f>=-<g,f'>=intégrale sur R de gf'
=intégrale de xf'(x)dx sur R+
=intégrale de f sur R+ (en intégrant par partie)
=<H,f> où H est la fonction de Heaviside.

Donc g'=H comme prévu

Maintenant si je dérive la mesure de Borel Stiljes associée à H, je trouve la même chose...

Je doute donc que je me suis planté quelque part, donc si quelqu'un voudrait bien me dire où, je lui en serait très reconnaissant...
Merci beaucoup d'avance.
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[martini_bird]

Salut,

je ne suis pas un pro dans ce domaine et d'autres compléteront ou corrigeront ce que je vais écrire. D'un point de vue (très) naïf, j'écrirais que: dg=Hdx et donc:


Je ne sais pas si ça t'avance à grand chose, mais bon.

A+

[Quinto]

Salut,
ce n'est pas plutôt dµg=Hdx? parce que c'est ce que j'ai marqué sur un feuille:
g'=µg=H
dµg=Hdx

voilà les conclusions que j'ai sur mon exercice, dans lequel justement mes 2 intégrales semblent être les mêmes...

[martini_bird]

Salut,
ce n'est pas plutôt dµg=Hdx? parce que c'est ce que j'ai marqué sur un feuille:
g'=µg=H
dµg=Hdx

Heu, oui peut-être
dµg, ça doit vouloir dire que tu précises que c'est la mesure obtenue à partir de la mesure de Lebesgue... :confused:

Bon, j'arrête de dire des bêtises et je vais de ce pas consulter le Rudin!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Ok, en fait on va peut etre se mettre d'accord sur les notations
Bon µg c'est la mesure de Borel Stiltjes associée à g.
Si tu ne t'en souviens plus c'est la mesure définie par
µg(E)=intégrale de gdl sur E ou l est la mesure de Lebesgue.

[martini_bird]

J'ai trouvé ce théorème:

Analyse réelle et complexe, p.173]
Théorème 7.8
Pour toute mesure complexe de Borel sur R^k, absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue m sur R^k et dont on note f la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à m, on a p.p. [m], et pour tout borélien ,

En relisant, je ne vois pas où se situe le problème.

[Quinto]

Ok, je crois que c'est juste un problème de logique dans lequel j'ai étét mélé:

On dérive H, on trouve que ca vaut la masse de dirac en 0.
On dérive µH et on trouve delta0(f) où f est la masse de dirac en f.

Je me suis juste betement emmelé selon moi:

La 1e est un nombre, qui est f(0)
La seconde est une fonctionnelle linéaire qui a une fonction Cinfinie à support compact (ici donc f) associe sa masse de dirac en 0.

En fait dans le 2e cas on trouve un opérateur, et dans le premier cas, on trouve l'opérateur évalué en une fonction bien spécifique.

Que penses tu de ca?
Je pense que c'est ca.
Si tel est le cas j'ai compris, en fait je m'emmelais juste les pinceaux.
En tout cas merci à toi, une fois de plus

[martini_bird]

Que penses tu de ca?

Ca me semble pas mal, mais il vaudrait mieux avoir confirmation (mes souvenirs sont un peu vagues en l'occurence).

[Quinto]

Salut,
je te remercie, ca m'éclair, j'ai été absent 2semaines pour cause de maladie, et j'ai raté tout ce qu'il y'a de plus passionant et important dans tous les cours, donc je dois ramer maintenant.
Merci bien

[invite8f53295a]

Salut,

En fait je crois que je n'ai pas bien compris ton problème. Est-ce de dériver H au sens des distributions ou au sens des mesures ?
En fait il s'agit de la même chose, dans la mesure où les distributions de d'ordre 0 et positives sont exactement les mesures de Radon.
f -> <H',f> est une forme linéaire sur les fonctions continues à support compact, donc aussi une mesure (d'après Riesz), d'où l'identification. Ton problème venait-il de là ?