Question sur les développements limités

[justine&coria]

Bonjour,

J'ai une question sur les développements limités. En fait, j'ai un prof d'Analyse qui explique très mal, ceci étant sûrement dû au fait qu'il ne maîtrise pas vraiment le français. Ce qui fait que premièrement il explique mal, et que deuxièmement, dès qu'on lui pose des questions, il ne comprend pas les questions, même quand celles-ci sont posées avec un langage mathématique.
Jusque là, ça passait puisqu'on ne faisait pratiquement que des révisions.

Par contre, là j'ai un problème. On commence à voir les développements limités et on a vu cette propriété : si f est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un DL à l’ordre n en 0 , alors la partie principale de ce DL ne contient que des termes de puissance paire (resp. impaire).
Je comprend cette propriété. Maintenant, ma question est de savoir si la réciproque est aussi vraie.
J'arrive pas à trouver de contre-exemple, donc pour moi (mais de façon intuitive), la réciproque est vraie ; par contre, j’arrive pas à le prouver. De plus, dans tous les bouquins que je lis il est à chaque fois question d’une implication et non d’une équivalence, ce qui me ferait dire que la réciproque est fausse. Bon, voilà, comme vous pouvez le voir, cette question n’arrête pas de me tarauder l’esprit.
J'ai cherché et cherché sur Internet : en vain (et pourtant il est à chaque fois question d'implication et ils ne mentionnent jamais la réciproque)

Est-ce qu’une âme charitable pourrait m’éclairer ?
Merci d’avance pour vos réponses.
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[Quinto]

Salut,
la réponse est bien évidemment non.

Un exemple vraiment bete:

prend un polynome de degré impair, mettons x^5+x^4+x²+1

si tu fais le dl de ce polynome en 0, tu auras jusqu'a l'ordre 4,uniquement des termes pairs qui vont apparaitre, bon c'est vrai qu'a l'ordre 5, ca ne marche plus.

En fait lorsque ta question revient à celle ci:
Est ce qu'une fonction Cn telle que ses dérivées d'ordre 2k (resp 2k+1), 0<2k<n+1 (resp 2k+1) s'annulent toutes en 0 est forcément paires (resp impaire)
Comme tu t'en doutes, il n'y a aucune raison que le fait que ses dérivées s'annulent en ce point implique que cette fonction est paire.

Un exemple convaincant (du mois je l'espere):
f(x)=cos(x) sur ]-2Pi,Pi[
f(x)=1 sur ]-oo,-2Pi]
f(x)=-1 sur [pi,oo[
Cette fonction va admettre un dévloppement limité en 0, qui sera le meme que le cos en 0, et pourtant comme tu le vois cette fonction est loin d'etre paire.

En réalité, lorsque tu fais un dl, tu regardes ce qui se passe localement autour d'un point (en général on se ramène à 0), localement tout peut se passer comme une fonction paire, mais rien n'oblige la fonction à être paire.

Autre exemple:
exp(-1/x²) admet un développement limité à tout ordre, il est a la fois pair et impair.
En suivant ton hypothese, la fonction est paire et impaire, or ceci n'est possible que si la fonction est nulle, or il est clair que la fonction est non nulle (calcule la en 1 par exemple).

Donc ceci est clairement faux..
Mais tout le monde y a déja pensé, ne t'en fais pas
A+

[martini_bird]

J'ai rien dit!

[Quinto]

Note cependant que dans un cas plus général ceci est vrai, mais ce n'est plus dans le cadre de développements limités, mais dans le cadre de dévloppement en série entière...

En fait si tu as un dl tu as que
f(z)=p(z)+o(z^n)
si p est pair (resp impair)
f(-z)=p(-z)+o((-z)^n)=p(z)+o((-z)^n) mais rien ne te dis que la fonction o((-z^n)) est paire. On sait juste que c'est une fonction dont le rapport avec z^n tend vers 0, rien de plus, rien de moins...

Martini, tu voulais dire quoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Martini, tu voulais dire quoi?

J'allais dire une bêtise, mais j'ai pu modifier avant les cinq minutes fatidiques...

[Quinto]

Bouhhhhhhhh il allait dire que la réciproque était vraie

[martini_bird]

Nan! j'allais te demander de m'expliquer quand tu dis que

exp(-1/x²) admet un développement limité à tout ordre, il est a la fois pair et impair.

Mais je me suis souvenu à tant des notations de Landau o(1)...

[justine&coria]

Merci Quinto pour tes explications. Pour tout te dire, j'ai pas tout compris car je ne suis qu'un débutant (les notations de Landau ne me disent pas grand chose), mais j'ai trouvé une réponse à ma question.

Au fait, ton exemple avec exp(-1/x²) n'est pas un contre-exemple correct, parce la propriété dit : "si f est paire/impaire, son DL n'admet que des éléments de puissance paire/impaire"

Mais bon, ton exemple avec les polynomes m'a permis de me faire une idée. La voici :
soit f(x) = x²+x².x/(1-x)
f(x) se met sous la forme : f(x) = x²+x².e(x) avec e(x)=x/(1-x) donc e(x)->0 quand x->0.
et pourtant f n'est pas paire, même si son DL s'écrit qu'avec des puissances paires.
Voilà, en fait, c'est tout con. Mais je ne le voyais pas !

Au fait, dans ton message, tu parlais de f(x) :
f(x)=cos(x) sur ]-2Pi,Pi[
f(x)=1 sur ]-oo,-2Pi]
f(x)=-1 sur [pi,oo[
Tu pourrais expliciter quand tu dis que cette fonction admet un développement limité en 0. Pour moi, elle n'en admet pas, mais bon, comme je l'ai dit, je suis un débutant et je ne demande qu'à apprendre.

Merci beaucoup pour tes explications.

[Quinto]

Salut,
je n'ai pas beaucoup le temps de te répondre:

Mon contre exemple marche bien, si tous les coeff sont nuls alors la fonction est de développement pair et impair (dire que le développement est pair signifie que les impairs sont nuls et vice versa, donc s'ils sont nuls tous les 2 regarde ce que va signifie....)
Ma 2e fonction admet bien un développement limité en 0, puisqu'en 0 c'est le cosinus, je ne vois pas ou est le probleme...

[justine&coria]

Salut,
je n'ai pas beaucoup le temps de te répondre:

Mon contre exemple marche bien, si tous les coeff sont nuls alors la fonction est de développement pair et impair (dire que le développement est pair signifie que les impairs sont nuls et vice versa, donc s'ils sont nuls tous les 2 regarde ce que va signifie....)
Ma 2e fonction admet bien un développement limité en 0, puisqu'en 0 c'est le cosinus, je ne vois pas ou est le probleme...

Ah ouais, d'accord : je viens de comprendre le exp(-1/x²) : c'est vrai que c'est un super contre-exemple !!

Par contre, concernant le cosinus, je comprends pas ! si j'ai bien compris mon cours, f(x) admet un développement limité à l'ordre n en 0 si elle peut se mettre sous la forme :
f(x) = P(x) + xⁿ.e(x) avec e(x)->0 quand x->0.
L'égalité "f(x)=DL" est vrai quel que soit x et pas seulement au voisinage de 0. Est-ce que tu comprends ce que je veux dire ?
Ou bien on ne parle du DL uniquement au voisinage de 0. (comme je l'ai dit, mon prof d'Analyse ne parle pas bien français et donc il est pas rigoureux dans ses explications).
Encore une fois, merci de prendre du temps pour me répondre.

[Quinto]

Ok, alors en fait on ne parle de dl qu'au voisinage d'un point en effet.

En fait le théorème peut s'énoncer ainsi:
Si f est une fonction Cn et qui admet une dérivée n+1 ieme au voisinage d'un point u (je crois que ce sont les bonnes conditions du théorème), alors il existe un polynome p tel que
f(x-u)=p(x-u)+o((x-u)^n) où est le degré du polynôme.
Plus précisement il existe un petit disque de rayon r non nul tel que cela est vrai.

En fait pour etre exact, ce sera vrai n'importe où, mais si tu es n'importe où, alors x^ne(x) pour reprendre ton message, ne tendra plus vers 0 en 0, mais simplement vers ce qui "manque".

[invite4eb15a6e]

quelqu'un s'y conait en developpement limité?
comment calculer le dev limité d'ordre n en 0 de sin(x), cos(x), ln(1+x) et e(x)?
et le dev limité d'ordre 5 en 0 de sin(ln(1+x))

[Coincoin]

Salut,
En apprenant son cours par exemple, non ? Les premières questions sont des simples questions de cours, qui demandent de connaître les définitions.

[invite6d143a7d]

en fait j'aurais voulu savoir comment on faisait pour calculer un DL de quelquechose ^(1/x) puisque la formule que je connais ne marche que pour les puissances entière à ma connaissance ?
Je dois calculer (sinx/shx)^(1/x) j'ai donc effectué le DL de sinx/shx mais je suis bloquée après ...

[invite33bf3f30]

Ce genre de DL se calcule en se servant de l'écriture sous forme exponentielle et de développer l'exposant.

Ca devient de la forme e^u avec u --> 0

[invite6d143a7d]

Merci beaucoup

[invite6d143a7d]

heu en fait j'pensais que ça allait marcher mais j'y arrive pas
c'est bien le sin et le sh que je met sous forme exponentielle ... j'arrive à
[(exp(ix)-exp(-ix))/2i]/[((exp(x)-exp(-x))/2] le tout puissance 1/x et je bloque ça doit pourtant pas être bien dur mais moi et les math des fois ...

[invite6d143a7d]

désolée j'ai finit par comprendre ... petit moment de fatigue ...enfin faut espérer! en tout cas merci pour les renseignements!