Bloquage sur limite (développement limité)

Azultra · 30/03/2008 - 11h59

Bonjour,

Je n'arrive pas à déterminer la limite de $(\sinh \sqrt{n})^{\frac{1}{n}}$ proposée en exercice sans correction dans mon bouquin (sauf le résultat $\lim\,(\sinh\,\sqrt{n})^{\frac {1}{n}}\,=\,1$ ).
Sous la forme $f(n)$ on aboutit à une forme indéterminée $\infty^0$ .
Et sous la forme $f(\frac{1}{n})$ , où l'on pose $f(x)\,=\,(\sinh \sqrt{\frac{1}{x}})^{x}$ , les développements limités ne servent à rien puisque $\sqrt{\frac{1}{x}}$ tend vers $+\infty$ ...

J'ai essayé pas mal d'autres choses, mais rien qui ne se soit avéré très fructueux.. un petit coup de pouce ?

Merci!

God's Breath · 30/03/2008 - 12h20

Envoyé par Azultra

Je n'arrive pas à déterminer la limite de $(\sinh \sqrt{n})^{\frac{1}{n}}$ proposée en exercice sans correction dans mon bouquin (sauf le résultat $\lim\,(\sinh\,\sqrt{n})^{\frac {1}{n}}\,=\,1$ ).

Il suffit de passer par le logarithme, et de montrer que $\ln (\sinh \sqrt{n})^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln (\sinh \sqrt{n})$ est de limite nulle, ce qui peut se faire par développement limité ou équivalent.

Azultra · 30/03/2008 - 12h35

Je ne comprends toujours pas..

Quel développement limité ?

God's Breath · 30/03/2008 - 12h48

Envoyé par Azultra

Je ne comprends toujours pas..

Quel développement limité ?

$\sinh \sqrt n = \frac{e^{\sqrt n} - e^{-\sqrt n}}{2} = e^{\sqrt n}\frac{1 - e^{-2\sqrt n}}{2}$ , donc
$\ln \, \sinh \sqrt n =\sqrt n - \ln 2 + \ln (1 - e^{-2\sqrt n})$
et on peut, en cas de besoin, effectuer un développement limité de $\ln (1 - e^{-2\sqrt n})$ , mais cela me semble inutile ici.

Azultra · 30/03/2008 - 13h09

Merci!

J'ai saisi mon erreur, je ne sais pas pourquoi j'ai vu $\frac{0}{0}$ lorsque je cherchais la limite de $\frac{\ln (1-e^{-2{\sqrt{n}}})}{n}$ .

D'ailleurs j'aurais une autre petite question pour toi: ça t'arrive souvent, temps en temps, ou bien jamais ce genre de bloquage dû à une erreur très bête ? C'est loin d'être la première fois en ce qui me concerne..

God's Breath · 30/03/2008 - 13h32

Envoyé par Azultra

D'ailleurs j'aurais une autre petite question pour toi: ça t'arrive souvent, temps en temps, ou bien jamais ce genre de bloquage dû à une erreur très bête ? C'est loin d'être la première fois en ce qui me concerne..

Bien sur que ça m'arrive de bloquer sur une bêtise, du genre $-1>0$ , et c'est toujours ennuyeux, parce qu'on met en général beaucoup de temps à s'en apercevoir, tellement on est sur de soi sur ces questions "évidentes".