Sur les puissances
Bonjour à tous,
Voici quelques exercices croustillants sur les puissances:
a est un réel positif. Discuter suivant les valeurs de a le nombre de solutions des équations précédentes:
1. a^x=x^a
2. a^(a^x)=x
3. a^a^a^a^a^...........^a^x=x, où a est écrit n fois (n entier >1)
Je connais pas la solution du 3
Bonne reflexion.
D'ailleur, si tu peut m'expliquer la solution du 1 j'en serai hereux, je sait, mon cerveau est très petit.
Cordialement
Floris
Pour le 1/
Prends le logarithme de chaque côté.
bonjour,
Je pense que pour la première, on peut commencer par distinguer deux cas : a=0 ou a<>0.
le cas a=0 est direct. Si a<>0, alors en passant au ln on se retrouve avec une équation du type :
ln(x)/x = ln(a)/a
maintenant il s'agit de s'interesser à la fonction f : x |--> ln(x)/x et de regarder sur quels intervalles elle réalise des bijections... je te laisse le loisir de terminer.
Indication : pense à dériver et à examiner le signe de la dérivée.
Pour le 3),
on appelle A=a^a^a...^a (n fois)
On a alors A^x=x
Discution du nombre de réponse...
Déja pas de solution si x<0
Dans les autres cas, il y a une seule solution: en effet, A^x = exp(xlnA) => (A^x)'= A^x lnA dont le signe dépend uniquement de lnA et non de x. Donc la dérivées est toujours du même signe, la fonction monotone.
On sait aussi (si A>1, sinon c'est l'inverse) que lim(x->0)(A^x)/x=0 et lim(x->oo)(A^x)/x = oo. Il y a donc UNE seule solution.
La solution (non-triviale) à ce problème, s'éxprime avec la fonction de Lambert...
Il doit y avoir un truc qui cloche dans ton raisonnement: Pour n=2 on obtient facilement 3 solutions.
Je viens de résoudre le 3 !!!!
C'est trôbô
Envoyé par space-kro
Si a=0 c'est impossible d'avoir ln(x)/x=ln(a)/a puisque ln(a) pour a=0 est impossible et diviser par 0 également
Justement, on fait une disjonction de cas..
je suis dsl, en fait pour moi le symbole <> signifiait "différent de" je sais qu'il y a la notation != aussi. Mais je l'aime pas trop elle est pas clair, tandis que là c'est inferieur stricte et superieur stricte (on a tous les cas)
enfin je suis dsl c'est pas trop le sujet du post mais c'était pour clairifier les choses.
