Indépendance rationnelle

[invitea1151097]

Bonjour à tous,

L'étude du Théorème de Cobham (sur les partie de IN reconnaissables) m'amène à étudier le fait que l'ensemble
{(-1+i)^n/(-2+i^m) / n,m dans IN} est dense dans C (ens. des complexe, je ne sais pas faire le symbole).

Le résultat n'étant pas démontré, j'aimerais prouver dans un premier temps que
{(2)^n/(3^m) / n,m dans IN} est dense dans IR+.

Un travail préliminaire me donne le résultat sous la condition que
1, ln(5)/ln(2) et arctan(1/2)/pi sont rationnellement indépendants.

(ie r+s.ln(2)/ln(5)+t(arctan(1/2)/pi)=0 => r=s=t=0 pour r,s,t dans Q)

J'ai essayé de faire ln(5)=2ln(2)+ln(1+1/4) afin d'utiliser un DL de ln(1+1/4) en plus du Dl de arctan(1/2) sans grand résultats...

De plus, l'indépendance étant possible seulement si arctan(1/2)/pi est non rationnel j'ai essayer de monter ce résultat intermédiaire sans plus de succès.

Après avoir utilisé plusieurs DL, formules de Taylor et propriétés de l'arctan je ne sais plus trop comment mis prendre alors si quelqu'un à une piste succeptible de relancer mes recherches, je le remercie d'avance.
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[God's Breath]

De plus, l'indépendance étant possible seulement si arctan(1/2)/pi est non rationnel j'ai essayer de monter ce résultat intermédiaire sans plus de succès.

Soit , on a , donc , , .
Si est rationnel, on a avec et entiers, d'où , soit .
On a les décompositions en facteurs irréductibles dans : et . Ainsi, si est rationnel, alors (*).
Comme , et sont premiers entre eux dans , l'égalité (*) est impossible, donc est irrationnel.

[ericcc]

brillant !

[invitea1151097]

Brillant effectivement !
Je te remercie de ton aide, une élégante démonstration qui me sera bien utile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea1151097]

j'ai l'impression que parler d'independance rationnelle est superflu.
Une simple independance linéaire (a coeff dans Z) n'entraine-t-elle pas l'indépendance rationnelle?

En écrivant et en bidoullant les definitions ça me semble possible de le montrer mais je ne suis pas expert là dedans et on a vite fait de montrer des truc faut comme ça.

[thepasboss]

Bonjour,

Il me semble bien que l'indépendance linéaire à coef dans Z suffit:

En effet si il existe (p,q,r) triplet de rationnels différent de (0,0,0) tel que p*a + q*b +r = 0 alors il est clair qu'en multipliant par le produit des dénominateurs de p, q et r l'expression obtenue on a bien existence d'un triplet d'entiers (u,v,w) différent de (0,0,0) tel que u*a + v*b + w = o.

Donc par contraposée tu as immédiatement que l'indépendance linéaire à coef dans Z entraine l'indépendance rationnelle.

Bon après je raconte peut-être n'importe quoi ... Si c'est le cas je remercis d'avance la modération de supprimer ce post inutile.

[invitea1151097]

Si on a que l'independance rationnelle entraine l'indépendance linéaire (ce qui est immédiat étant donné que Z est inclut dans Q), la contraposée serait plutot : la dépendance linéaire entraine la dépendance rationnelle.

[thepasboss]

oui mais ce que j'ai montré n'est-il pas plutot que la dépendance rationnelle entraine la dépendance dans Z ?

[invitea1151097]

Bonjour, je te remerci de t'interesser à mon probleme

Tu montres que (indépendance rationnelle)=>(independance lineaire)

Donc la contraposé est (dépendance linéaire)=>(dépendance rationnelle)

[thepasboss]

Bon alors là je suis largué...

Comment défini tu dépendance rationnelle ? C'est si il existe un triplet de rationnelles non tous nuls (p,q,r) tels que a*p + b*q + r = 0 non ?

Alors dans ce cas je maintiens que l'on a aussi dépendance lineaire en multipliant l'expression par le produit des dénominateurs des rationnels p,q et r...

Donc dépendance rationnelle entraine dépendance lineaire...

Enfin après peut-être n'entendons nous pas la même chose par dépendance linéaire et rationnelle.

[invitea1151097]

j'ai honte.... Je n'avais pas saisi que tu partais de la dépendance rationnelle pour arriver à la dépendance linéaire. Dans ce cas tu as raison, la contraposé est exactement le résultat que je cherchais.
Je te remercie.

[thepasboss]

Aaah nous sommes d'accord . Ca arrive à tout le monde !

Néanmoins je dois avouer que ton problème m'a obsédé et j'ai donc cherché un moyen de démontrer que ton ensemble est bel et bien dense sans passer par des histoires de dépendance rationnelle, et je crois bien y être arrivé, même si la démonstration est un peu lourde et pas forcemment très élégante.

Je la met entre balise "spoil" au cas où tu désire chercher ta propre démonstration

 Cliquez pour afficher

Posons d'abord

Tout d'abord on va montrer que l'ensemble H ( qui est le même que G mais avec cette fois ci n et m dans ) est dense dans

Il est évident que l'image d'un ensemble dense dans par Ln va aussi être dense dans et réciproquement l'image d'un ensemble dense dans par exponentielle va aussi être dense dans .

Considérons donc

H' est clairement un sous groupe additif de et donc il est soit de la forme soit dense dans .

Pour montrer qu'il est dense il suffit donc d'exiber une suite de H' qui converge vers 0 et qui ne soit pas constante nulle à partir d'un certain rang (ce qui n'est trivialement pas possible car 2 et 3 sont premiers entre eux).

Lemme : Pout tout x dans et pour tout q dans il existe (m,n) dans tel que

On a donc existence de deux suites d'entiers naturels nons nuls et tels que :

et donc on a quand n tend vers l'infini.

Donc H' est dense dans

On a donc immédiatement que H est dense dans .

Pour conclure sur la densité de G il suffit donc de montrer que pour tout élément de la forme (avec m et n entiers naturels non nuls) et pour tout strictement positif il existe un élément de G tel que :

.

Or on a

Et donc en réutilisant les suite u et v trouvées précédemment et en remarquant qu'elles ne peuvent parcourir une partie bornée de on en arrive à la conclusion qu'il existe p et q entiers naturels tels que et et :



et donc :

Ce qui permet de conclure que G est dense dans !

Ouf !...

[invitea1151097]

Je te remercie pour ta réponse et je m'excuse d'avoir été si long à répondre,

En poursuivant l'étude de ce problème je me suis rendu compte m'être emmélé les pinceaux à un moment donné. Je récapitule :

{p^n/q^m : n,m dans IN} est dense dans IR+ est un résultat nécessaire à la démonstration du théorème de Cobham.

Ce théorème étant démontré, ce résultat l'est aussi (je te remercie au passage de ta preuve, je vais surement la travailler) en utilisant notamment un lemme (de Kronecker) selon lequel

aZ+Z est dense dans IR+<=>(an mod 1) est dense dans [0,1]
<=>a n'est pas rationnel


C'est la généralisation de ce théorème au entiers de Gauss qui nécessite de savoir que {(-1+i)^n/(-2+i^m) / n,m dans IN} est dense dans C.
Et c'est ce résultat qui n'est connu que sous la conjecture des 4 exponentielles.

Et c'est aussi ce résultat qui équivaut à montrer que
1, ln(5)/ln(2) et arctan(1/2)/pi sont rationnellement indépendants.
Ou Z-independants vu que cela suffit


Je suis maintenant en quête de la démonstration du fait que
pour alpha, beta entier de Gauss (de la forme -A+-i , A>0)

{(alpha)^n/(beta^m) / n,m dans IN} est dense dans C est équivalent au fait que
{(alpha)^n/(beta^m) / n,m dans IN} est dense dans S1 (le cercle unité du plan IR²).

pour le démontrer, j'utilise le fait que d'après la densité dans S1,
pour tout complexe z il existe deux suite (nk), (mk) tq
arg(alpha^nk/beta^mk)->arg(z)

Mais d'après la densité de {p^n/q^m : n,m dans IN} dans IR+, pour tout z de C, il existe 2 suites (nl), (ml) tq
abs(alpha^nl/beta^ml)->abs(z)

Je dit ensuite que de tels couple de suite ne sont pas unique et qu'en fixant une de ces suite on peut toujours en choisir une seconde de sorte que ces relations soit conservées (c'est le point un peu douteux selon moi).

Ainsi en fixant (nk) et (ml), on obtient
pour tout z de C il existe 2 suites (mk) et (nl) tq
arg(alpha^nl/beta^mk)->arg(z)
abs(alpha^nl/beta^mk)->abs(z)

Autrement dit
pour tout z de C, il existe 2 suites(nl) et (mk) tq
alpha^nl/beta^mk->z d'ou la densité dans C.


Si jamais vous avez des remarques sur cette démonstration, voire des conseils pour améliorer la partie un peu douteuse ne vous privez pas de m'en faire part
Merci^^