Séries de Fourier

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 14h45

Salut à tous !

j'ai une fonction représenté par le graphe ci-joint. je dois calculer les coef de Fourrier et vérifier que u correspond aux conditions de Dirichlet puis voir ce qu'on peut dire de cette série.

u(t) est une fonction périodique (donnée)

pour moi, la fonction est donc:
$\text{[math]}$

Je calcule donc : $\text{[math]}$

Et je trouve $\text{[math]}$ mais graphiquement, j'ai l'impression que c'est pas ça. Où est l'erreur dans mon intégrale ?

Merci

**deep_turtle** · 06/04/2008, 14h46

Salut,

Tu a zappé le graphe...

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 14h54

Désolé, le voilà...

**God's Breath** · 06/04/2008, 15h04

Le calcul de l'intégrale est correcte, mais le coefficient de Fourier ne serait-il pas :
$\text{[math]}$ ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 15h22

Bien sûr mais je suis obligé de partager en somme de 2 intégrales puisque par demi-période, le fonction u(t) est différente. Et la formule de Fourrier, c'est plutôt $\text{[math]}$ avant l'ntégrale pour $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ c'est pour calculer les autres harmoniques $\text{[math]}$ .

Donc je vois pas où est mon erreur.

**God's Breath** · 06/04/2008, 15h33

Envoyé par jeanmi66

Bien sûr mais je suis obligé de partager en somme de 2 intégrales puisque par demi-période, le fonction u(t) est différente. Et la formule de Fourrier, c'est plutôt $\text{[math]}$ avant l'ntégrale pour $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ c'est pour calculer les autres harmoniques $\text{[math]}$ .

Donc je vois pas où est mon erreur.

Je comprends bien que tu es obligé de scinder l'intégrale pour la calculer. Mon problème était sur le coefficient, parce qu'il y a deux conventions possibles au niveau de $\text{[math]}$ .

Comme le graphe n'est pas visible actuellement, je ne peux pas savoir quelle est le signal $\text{[math]}$ .
Si je comprends bien, il croît linéairement de 0 à E sur une demi-période, puis est constant à E sur la seconde demi-période. Auquel cas ton résultat est exact, et correspond bien à la valeur moyenne du signal : E/2 sur une demi-période, puis E sur l'autre demi-période, donc 3E/4 sur une période.

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 15h43

Envoyé par God's Breath

Je comprends bien que tu es obligé de scinder l'intégrale pour la calculer. Mon problème était sur le coefficient, parce qu'il y a deux conventions possibles au niveau de $\text{[math]}$ .

Comme le graphe n'est pas visible actuellement, je ne peux pas savoir quelle est le signal $\text{[math]}$ .
Si je comprends bien, il croît linéairement de 0 à E sur une demi-période, puis est constant à E sur la seconde demi-période. Auquel cas ton résultat est exact, et correspond bien à la valeur moyenne du signal : E/2 sur une demi-période, puis E sur l'autre demi-période, donc 3E/4 sur une période.

Le graphe est exactement comme tu le décris. La première demi-période est de -T/2 à 0 puis de 0 à T/2.

Bon alors je suis bon. Je vais calculer les autres coef et vous les soumettre à corrction si vous voulez bien.

Merci d'avance

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 16h22

Par contre, on me dit de préciser les valeurs de $\text{[math]}$ selon la parité de n. Le problème, c'est que je trouve $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

J'ai donc un soucis. En plus, ma fonction n'est ni paire, ni impaire, donc je vois pas pourquoi je trouve $\text{[math]}$ !?

**DuComte** · 06/04/2008, 16h38

bjr
a0 = 1/T * integrale de la fonction de -T/2 jusqu'à T/2 et non pas 2/T*.... comme tu as ecris au dédut, mais pour les autres coefficients c est juste ce que tu as écris

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 16h42

Je sais, tu dois parler de ce qu'à écris GOD'S BREATH, parceque moi, j'ai bien intégré avec 1/T en facteur.

**DuComte** · 06/04/2008, 16h43

donc tu dois intégrer le deuxieme terme de ta fonction qui est u(t)=E, entre -T/2 et T/2, comme ça tu trouveras a0 = E.

**God's Breath** · 06/04/2008, 16h43

Envoyé par jeanmi66

Par contre, on me dit de préciser les valeurs de $\text{[math]}$ selon la parité de n. Le problème, c'est que je trouve $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

J'ai donc un soucis. En plus, ma fonction n'est ni paire, ni impaire, donc je vois pas pourquoi je trouve $\text{[math]}$ !?

Sans voir ton calcul, impossible de trouver l'erreur ;
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ .
Reste :
$\text{[math]}$ .
Comme j'ai horreur de toutes ces fractions, je pose $\text{[math]}$ , et il vient
$\text{[math]}$
qui dépend bien de la parité de $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ .

**DuComte** · 06/04/2008, 16h44

c'est ce que t'as trouvé graphiquement ?

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 17h17

Envoyé par God's Breath

Comme j'ai horreur de toutes ces fractions, je pose $\text{[math]}$ , et il vient
$\text{[math]}$
qui dépend bien de la parité de $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ .

Je suis d'accord avec toi jusque là. Je pose pas de changement de variable, mais c'est pas grave. je fais une intégration par partie. De plus, on voit bien qu'en remplaçant t par sa valeur T/2 il restera $\text{[math]}$ et ça, ça fait tjs 0 !

Je ne vois pas trop comment tu arrives à $\text{[math]}$ ? surtout l'intérieur des crochets.

merci

**God's Breath** · 06/04/2008, 17h35

Envoyé par jeanmi66

Je suis d'accord avec toi jusque là. Je pose pas de changement de variable, mais c'est pas grave. je fais une intégration par partie.

Je ne vois pas trop comment tu arrives à $\text{[math]}$ ? surtout l'intérieur des crochets.

Le changement de variable me sert uniquement à simplifier les écritures.
L'expression finale $\text{[math]}$ n'est que le résultat de l'intégration par parties de $\text{[math]}$ .
Même en restant avec la variable $\text{[math]}$ , tu intègres par parties avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Le terme tout intégré en $\text{[math]}$ est en $\text{[math]}$ et il est nul ; l'intégrale qui subsiste de $\text{[math]}$ est celle de $\text{[math]}$ , la primitive est en $\text{[math]}$ , et cette intégrale est non nulle.
Tu dois normalement retrouver mon résultat.

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 19h29

Ok, je retrouve ta valeur merci, j'essai de continuer er reviendrais sur ce topic si besoin est. Merci GOD'S BREATH.

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 20h44

Pour b_n, je trouve $\text{[math]}$

Ca a l'air correct !

**God's Breath** · 06/04/2008, 21h04

Envoyé par jeanmi66

Pour b_n, je trouve $\text{[math]}$

Ca a l'air correct !

C'est parfaitement exact.

inviteb4d8c3b4 · 06/04/2008, 22h28

Donc si j'écris le développement en série de Fourrier, ça devrait donner:

$\text{[math]}$

Puis j'annonce que:
- f(t) est T-périodique
- f(t) est continue
- f(t) est dériable par morceaux donc

f(t) satisfait les conditions de Dirichlet et converge pour tout t.

Vous pensez que ça colle ? Y a-t-il lieu de rajouter un autre commentaire (c'est l'énoncé : que peut-on dire de la série alors, après avoir vérifié les conditions) ?

Merci

**God's Breath** · 06/04/2008, 22h32

Envoyé par jeanmi66

Puis j'annonce que:
- f(t) est T-périodique
- f(t) est continue
- f(t) est dériable par morceaux donc

f(t) satisfait les conditions de Dirichlet et converge pour tout t.

f satisfait les conditions de Dirichlet et sa série de Fourier converge pour tout t, de somme f(t).

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 06h33

Ok, merci, faut vraiment que je soit plus pointilleux sur l'écriture !

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 09h37

j'ai un peu avancé. On me demande de déterminer la somme $\text{[math]}$ en prenant t=0

Voilà comment je traite ça:

On a vu que le premier terme de la somme est nul si les valeurs de n sont paires. Si t=0, on peut alors écrire:
$\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ alors la série $\text{[math]}$ est de la même nature que la série de Riemann $\text{[math]}$

Je pense être bon mais je me rends compte que je coince pour calculer la somme alors que c'est pourtant basique. Je ne vois pas comment procéder.

Auriez-vous une piste svp ?

Merci

**God's Breath** · 07/04/2008, 09h57

La série de Fourrier converge vers f pour tout t, en particulier pour t = 0, donc :

$\text{[math]}$

Ne subsistent dans cette dernière somme que les termes où n est impair, de la forme 2p+1, donc :

$\text{[math]}$

et tu devrais facilement en déduire la somme de ta série...

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 11h26

Bein justement, non. Je suis d'accord avec toi et comprends ton développement, j'aurais dû y penser avant.

Si je prends mon graphe, u(0) = E donc la somme tend vers E/4 quand t tend vers 0.

Mais je me rend compte que je n'ai chercher jusqu'à présent des mes études sur les séries, qu'à étudier des natures de sommes, et jamais la valeurs qu'elles prennent ! Il faut donc que je revoit mon cours là-dessus, c'est grave !!! Je pense qu'il doit y avoir une formule pour calculer ça, une somme quelquonque si je n'avait pas de graphe par exemple ! j'ai vu un truc genre $\text{[math]}$ pour les séries géométriques mais ça ne peut pas s'appliquer ici !

Auriez-vous des pistes pendant que je cherche dans mon cours ?

merci

**God's Breath** · 07/04/2008, 14h01

Envoyé par jeanmi66

-Mais je me rend compte que je n'ai chercher jusqu'à présent des mes études sur les séries, qu'à étudier des natures de sommes, et jamais la valeurs qu'elles prennent ! Il faut donc que je revoit mon cours là-dessus, c'est grave !!! Je pense qu'il doit y avoir une formule pour calculer ça, une somme quelquonque si je n'avait pas de graphe par exemple ! j'ai vu un truc genre $\text{[math]}$ pour les séries géométriques mais ça ne peut pas s'appliquer ici !

Il me semble que tu as raté quelque chose sur les séries de Fourier.

On considère une fonction périodique ...
On définit ses coefficients de Fourier $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , puis sa série de Fourier.

Première question : la série obtenue est-elle convergente ?
Si oui, on note $\text{[math]}$ la somme de la série de Fourier.

Deuxième question : Y-a-t-il une relation entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Dans les conditions de Dirichlet la réponse est affirmative aux deux questions, la série converge, et sa somme est $\text{[math]}$ pour tout t.

Dans ton exemple, tu connais donc la somme de la série de Fourier :
pour tout t, tu peux écrire $\text{[math]}$ ,
en particulier pour t=0, et en déduire, sans autre forme de procès, que
$\text{[math]}$ ,
donc
$\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 17h03

Ok, je comprends mieux. En fait je viens d'essayer de me le dessiner. Dis-moi si je me trompe avec cette explication grossière.

Grossièrement, en fait une série, en l'occurence de Fourrier ici, n'est rien d'autre qu'une somme relative à l'évolution d'un paramètre. Cette somme S de plusieurs termes tend graphiquement à se rapprocher de la courbe d'origine f(t), et c'est pour cela qu'on cherche à vérifier des conditions d'écriture entre la somme et l'équation d'origine de la courbe.

Plus on fait évoluer le paramètre à l'infini, plus la somme tend ou plutôt converge vers la courbe, jusqu'à ce qu'elles se superposent quasiment (jamais en réalité).

1- mais si on dit que la série converge pour tout t, alors plutôt que de calculer la somme pour t=0, on aurait très bien pu la calculer pour t=30 par exemple !?
2- Et il vient aussi un moment où l'on peut utiliser la série plutôt que la fonction d'origine elle-même !? Mais ce moment, c'est quand le paramètre se ballade vers l'infini plutôt !?

Merci

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 19h44

En plus des questions du message ci-dessus, on me demande de calculer $\text{[math]}$ . On me dit qu'on prend $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ c'est ce que je trouve mais je pense que c'est faux et on me dis ensuite d'en déduire que $\text{[math]}$ mais là je coince aussi.

Pourriez-vous m'aider svp sur le message précédent et celui-ci ?

Merci par avance

**God's Breath** · 07/04/2008, 20h33

Envoyé par jeanmi66

En plus des questions du message ci-dessus, on me demande de calculer $\text{[math]}$ . On me dit qu'on prend $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ c'est ce que je trouve mais je pense que c'est faux et on me dis ensuite d'en déduire que $\text{[math]}$ mais là je coince aussi.

Pourriez-vous m'aider svp sur le message précédent et celui-ci ?

Merci par avance

Je trouve personnellement $\text{[math]}$ ...

Lorsque il y a des coefficients de Fourier en $\text{[math]}$ et que l'on me demande la valeur de $\text{[math]}$ , je pense immédiatement au calcu de $\text{[math]}$ par la formule de Parseval.

**God's Breath** · 07/04/2008, 20h39

Envoyé par jeanmi66

Grossièrement, en fait une série, en l'occurence de Fourrier ici, n'est rien d'autre qu'une somme relative à l'évolution d'un paramètre. Cette somme S de plusieurs termes tend graphiquement à se rapprocher de la courbe d'origine f(t), et c'est pour cela qu'on cherche à vérifier des conditions d'écriture entre la somme et l'équation d'origine de la courbe.

C'est l'idée générale

Envoyé par jeanmi66

Plus on fait évoluer le paramètre à l'infini, plus la somme tend ou plutôt converge vers la courbe, jusqu'à ce qu'elles se superposent quasiment (jamais en réalité).

Enfin tant que la fonction $\text{[math]}$ reste "sympathique".

Envoyé par jeanmi66

1- mais si on dit que la série converge pour tout t, alors plutôt que de calculer la somme pour t=0, on aurait très bien pu la calculer pour t=30 par exemple !?

Bien évidemment, mais le résultat pour t=30 n'aurait pas fourni une "aussi jolie formule".

Envoyé par jeanmi66

2- Et il vient aussi un moment où l'on peut utiliser la série plutôt que la fonction d'origine elle-même !? Mais ce moment, c'est quand le paramètre se ballade vers l'infini plutôt !?

L'idée est que l'on peut remplacer la fonction par la somme partielle de la série de Fourier si l'on tolère une certaine marge d'erreur.

inviteb4d8c3b4 · 07/04/2008, 20h50

Ok, je retrouve les 2/3, je n'avais pas développé le carré de l'intégrale !!!

Donc, pour la formule de Perseval, il faut que j'écrive : $\text{[math]}$ Je vais essayer...

Sinon, y aurait-il des réponses à mon message de 18h03 ? merci

Séries de Fourier