Question toute bête produit scalaire et vectoriel

[RVmappeurCS]

Bonjour.
J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
Imaginons que l'on ait A.X=B, quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?
Merci beaucoup
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[rajamia]

Bonjour.
J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
Imaginons que l'on ait A.X=B, quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?

bonjour,

d'abord et je pense que tu le sais déjà, le produit scalaire est un nombre, donc
A.X=B, est faux comme écriture car une est un nombre et l'autre est un vecteur.

Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?

tu n'as que calculer le produit vectoriel et tu auras un système à résoudre avec trois équations et trois inconnus.

bon calcul

[God's Breath]

J'ai une question toute simple sur le produit scalaire et vectoriel.
Soient trois vecteurs : A : (xA,yA,zA), B : (xB,yB,zB) et X : (x,y,z)
Imaginons que l'on ait A^X=B quelles sont les solutions pour X en fonction de A et B ?

Il faut d'abord remarquer que le produit vectoriel est orthogonal à (et à ) : si n'est pas orthogonal à , l'équation n'a pas de solution.

Si , alors pour tout : si , tout est solution ; si , l'équation n'a pas de solution.

Si , alors si et seulement si et sont colinéaires : les solutions de l'équation sont les avec réel quelconque.

On suppose désormais et orthogonaux et non nuls.

Supposons connaître une solution de l'équation, c'est-à-dire tel que .
L'équation s'écrit , elle est équivalente à qui a pour solutions les tels que et soient colinéaires.
Les solutions sont donc les , avec réel quelconque.

Il reste donc à trouver une solution particulière , qui doit être orthogonale à .
On essaie de trouver cette solution particulière également orthogonale à , c'est-à-dire colinéaire à , donc de la forme , avec réel.
Or est solution de l'équation si et seulement si , ce que la formule du double produit vectoriel permet de réécrire en :
.

Comme et ( et sont orthogonaux et non nuls), il y a une unique valeur de qui convient : .

Les solutions, dans ce cas, sont dont les vecteurs avec réel quelconque.

[RVmappeurCS]

Ouah merci beaucoup .
Ce n'était pas aussi simple que je le pensais, mais avec ton explication c'est clair.
Pour le produit scalaire je voulais dire A.X=b, quelles sont les formes des solutions possibles ?
Merci beaucoup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Pour le produit scalaire je voulais dire A.X=b, quelles sont les formes des solutions possibles ?

Même technique :
Si , alors :
– si , tout vecteur est solution ;
– si , l'équation n'admet aucune solution.

On suppose désormais non nul.
On commence par chercher une solution particulière colinéaire à .
On a , donc est solution si, et seulement si, , c'est-à-dire .

Alors est équivalent à , c'est-à-dire et orthogonaux.
Les solutions sont donc avec vecteur quelconque orthogonal à .