Géometrie [surface]

[invite8c2ea064]

Bonjour à tous,

J'ai un problème pour trouver les points qui appartiennent à S' mais pas à S

Auriez vous une méthode ?

Merci à tout le monde !
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[God's Breath]

J'ai un problème pour trouver les points qui appartiennent à S' mais pas à S

Auriez vous une méthode ?

On note les coordonnées du point (grande nouveauté !!!).

Par définition : , donc :
.

On considère donc un point de , donc de coordonnées satisfaisant , et l'on esaie de voir s'il existe , par le biais de et , qui satisfait le système précédent.

On commence par essayer de calculer dans la deuxième équation.

Si , les coordonnées du point de satisfont , c'est-à-dire et quelconque. Il appartient à si, et seulement si, il existe réel tel que , c'est-à-dire .
Les points de coordonnées avec appartiennent donc à , mais pas à .

Si , on peut calculer dans la seconde équation, mais on peut avoir un problème pour calculer dans la première. On discute donc suivant la nullité de .

Si , les coordonnées du point de satisfont , c'est-à-dire ; comme on est dans le cas , on a donc . Ce point de coordonnées appartient à si, et seulement si, il existe réel tel que , c'est-à-dire
Les points de coordonnées avec appartiennent donc à , mais pas à (je n'ai pas précisé , parce que l'on retrouve le point de coordonnées du cas ).

Si , la résolution du système conduit à ,
et il est bien connu qu'un tel existe si, et seulement si, , relation satisfaite par les points de qui appartiennent donc à dans ce cas.

Bilan final : il y a deux familles de points qui appartiennent à mais pas à :
– les points de coordonnées avec ;
– les points de coordonnées avec .

[invite8c2ea064]

Bonjour,

Je me sens géné que ce soit toujours vous qui me repondiez

En plus vour prenez le temps de bien tout expliquer , ce qui m'est trés profitable par ailleurs.

Je vous remerci beaucoup !

Cordialement

[invite8c2ea064]

Je viens de lire plus en détail votre rédaction :

*Comment faite vous pour "partir dans une direction" au début de l'exercice choisir tout d'abord z = 0 puis z différent de 0 pour ensuite s'amener au cas ou x=0 et x différent de 0 . . . . Qu'est ce qui vous guide ?

*Deplus à la fin je ne vois pas trés clairement comment vous montrez que la relation trouvée vérifie l'équation de S'

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Je me sens géné que ce soit toujours vous qui me repondiez

Pur hasard, les autre habitués du forum ne se sentent peut-être pas très à l'aise dans ces problèmes...

Comment faite vous pour "partir dans une direction" au début de l'exercice choisir tout d'abord z = 0 puis z différent de 0 pour ensuite s'amener au cas ou x=0 et x différent de 0 . . . . Qu'est ce qui vous guide ?
Deplus à la fin je ne vois pas trés clairement comment vous montrez que la relation trouvée vérifie l'équation de S'

L'essentiel est d'avoir compris la différence entre équation cartésienne et équation paramétrique :

Lorsqu'on dit que est d'équation , pour savoir si un point appartient ou non à la surface, il suffit de vérifier si ces coordonnées satisfont ou non l'équation.

De même est définie par un système d'équations cartésiennes, un point appartient à la droite si, et seulement si, ses coordonnées satisfont l'équation.

Comme cette droite (et le système d'équations qui la définit) dépend d'un paramètre , on définit la surface engendrée par la droite, c'est-à-dire la réunion des droites, et l'écriture "évidente" :
.
L'important dans cette équivalence est le quantificateur : le point appartient à la surface si, et seulement si, il appartient à l'une des génératrices. Il faut donc prouver l'existence de cette génératrice sur laquelle se trouve le point.
Il faut aussi remarquer que l'on peut prouver l'existence de cette génératrice sans l'exhiber explicitement.

Ici, il faut donc prouver l'existence de tel que :
.
On peut donc déterminer quelles doivent être les valeurs de et , puis voir si ces valeurs conduisent à une valeur de (que l'on a pas besoin de calculer, son existence est suffisante).

Les valeurs et de et sont les solutions du sysème (attention, les inconnues sont et ), et l'on sait que l'existence de tel que et est assurée par la condition nécessaire et suffisante .

Si j'ordonne mon système suivant les inconnues et , je le réécris :.
Il est triangulaire, donc facile à résoudre, de déterminant , d'où la discussion :
1. le déterminant est nul, se subdivise en :
1.1 ;
1.2 ;
2. le déterminant est non nul.

Dans ce cas, le système est de Cramer, il y a solution unique :
et .
L'existence de , c'est-à-dire l'appartenance du point à la surface , est assurée par la condition nécessaire et suffisante qui s'écrit ici :
soit, en rendant au même dénominateur :
.
Comme on est dans le cas où , cette condition est équivalente à , qui est l'équation de , donc qui est satisfaite par le point .

[invite8c2ea064]

Merci beaucoup pour ces explications

En fait votre recherche est conduite d'aprés le calcul du déterminant du systéme.

Cordialement.