montrer que c'est un sous espace vectoriel...

[invitea210495a]

Bonjour,

Voici l'énoncé et la question:

Soit A={(x,y,z) appartenant à R^3 : 2x-(5/2)y+z=0} un sous ensemble de R^3.

Il faut montrer que A est un sous-espace vectoriel de R^3.
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[invitea210495a]

s'il vous plait!

[invitebb921944]

Bonjour.
Montre d'abord que le vecteur nul vérifie bien la relation et qu'ainsi il est dans ton espace.
Ensuite, prends deux vecteurs qui vérifient chacun ta relation et mon que le vecteur somme vérifie aussi la relation.
Pour finir, prend a un scalaire (un réel), et x un vecteur qui vérifie ta relation et montre que ax vérifie ta relation. (les deux dernières conditions peuvent se vérifier en une seule fois).

[invite8635b504]

pour démontrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel tu reprend la définition d'un espace vectoriel :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_...ition_formelle
il faut que tu ai un élement neutre c'est à dire ici 1.
pour tout x de l'ensemble considérer 1*x=x.
dans ton cas il suffit de prouver que 1 appartient à l'ensemble.
il faut qu'il y ai commutativité pour l'opération + et x c'est à dire que pour tout x et y de l'ensemble, toute combinaison linéaire c(ax+by) appartient à ton ensemble pour a,b,c non nul. et il faut montrer aussi (trivial) que c(ax+by)=cax+cby. et je crois que tu as tout comme ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8635b504]

en fait, il y a plusieurs façon le tout est de montrer l'existence de 0 ou de 1 dans ton ensemble et la commutativité avec des scalaire et l'opération multiplicative et additive.

[invitebb921944]

Il est quand même bien plus rapide de montrer que c'est un sous-espace vectoriel plutôt qu'un espace vectoriel.
Il faut faire attention aussi, un espace vectoriel est entre autre un groupe pour l'addition. 1 n'a donc aucune raison d'appartenir à l'espace en question.