Montrer que F est un R espace vectoriel

[max38]

Bonjour,
Je commence juste les espaces vectoriels et je ne suis pas sur de repondre entierement a la question posé :

Montrer que F ( (x,y,z)E R³ / 2x+y+z =0 ) est un R espace vectoriel.

Dans un premier tps j'ai essayé de montrer que F etait un groupe Abelien et demontrant que les 3 proprietes etaient vraies :

- Commutative :

qq soit e1(x1,y1,z1) E F et e2(x2,y2,z2) E F
(e1+e2) = (2*x1 + 2*x2, y1+y2, z1+z2)
(e2+e1) = (2*x2 + 2*x1, y2+y1, z2+z1)
et donc (e1+e2) = (e2+e1)

- associative (même genre de démonstration)

- admet un élément neutre 0F

- Tout élément de F admet un opposé


Ensuite j'essaie de montrer la multiplication externe.




En démontrant que F est un groupe abelien et la multiplication externe je demontre que F est un espace vectoriel ?
Ma methode n'est elle pas trop longue ?

Merci pour votre aide

[jobherzt]

En gros c'est l'idée, sauf que tu te compliques la vie. F est un sous ensemble de R^3, qui lui est par definition un espace vectoriel. Ca c'est vrai puisque sans le preciser, ce sont les lois de R^3 que tu utilise.

Donc tu sais deja que la loi + et la multiplication externe verifient les bon trucs (associativité, commutativité, tout ca) puisqu'elle viennent de R^3. Autrement dit, ton probleme se ramene a prouver que F est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel, ce qui est beaucoup plus simple.

Ce qu'il reste a montrer, c'est que F est stable par ces operations (cad qu'on "reste dedans" quand on les applique), et qu'il contient 0. In fine, ca se ramene a montrer que:

- F n'est pas vide (il contient au moins un elelement, peu importe lequel)
- Pour tout a de R, pour tout u,v de F, au+v appartient a F.

ce qui est essentiellement plus rapide que ce que tu as fait.

[jobherzt]

En fait, ce que tu ecris est meme completement faux par exemple :

(e1+e2) = (2*x1 + 2*x2, y1+y2, z1+z2)

n'est evidemment pas vrai ! comme je te le dis, les lois que tu utilise sont celle de R^3, donc e1+e2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). tout ce que te dis la definition de F, c'est que si e1 appartient a F, alors 2x1+y1+z1=0, donc e1 peut s'ecrire (x1,y1, -2x1-y1).Idem pour e2, reste a montrer que e1+e2 peut aussi s'ecrire sous cette forme.

[max38]

En fait, ce que tu ecris est meme completement faux par exemple :



n'est evidemment pas vrai ! comme je te le dis, les lois que tu utilise sont celle de R^3, donc e1+e2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). tout ce que te dis la definition de F, c'est que si e1 appartient a F, alors 2x1+y1+z1=0, donc e1 peut s'ecrire (x1,y1, -2x1-y1).Idem pour e2, reste a montrer que e1+e2 peut aussi s'ecrire sous cette forme.

Merci pour ta reponse jobherzt !
Comme tu peux t'en rendre compte,je ne suis pas tres au point sur les EV ...

Il faut que je démontres que F est un sous espace de R^3, d'accord.

1- je peux dire que F n'est pas vide car le vecteur 0F(0,0,0) fait partie de F car il verifi 2x+y+z=0
2- Soit u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2) deux elements de F.
De part la definition de F, on sait que 2x1+y2+z1 = 0 et 2x2+y2+z2 = 0
Pour savoir si (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2) appartient à F je dois évaluer 2*(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0

Or 2*(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)= (2x1+y1+z1)+(2x2+y2+z2) = 0 + 0 = 0

Donc qq soit (x1,y1,z1) E F et (x2,y2,z2) E F => (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) E F


Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
avec k E R ?

Merci d'avance

[God's Breath]

Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
avec k E R ?

Oui ton raisonnement tient parfaitement la route, et il te reste effectivement à montrer que , pour tout (x1,y1,z1) élément de F et tout k réel, k(x1,y1,z1) appartient à F.

[max38]

oki, donc pour démontrer que pour tout (x1,y1,z1) élément de F et tout k réel, k(x1,y1,z1) appartient à F :

on sait que si (x1,y1,z1) élément de F, 2x1+y1+z1=0. Maintenant il faut que j'évalue k(x1,y1,z1) :

2*k*x1+k*y1+k*z1 = k*(2x1+y1+z1) = 2 * 0 = 0

et donc qq soit (x,y,z) E F , k E R on a bien k(x,y,z) E F




Cette fin de raisonnement est elle valable ?

N'hésitez pas soulevez les "coquilles" ou les justesses de la rédaction.

[God's Breath]

Cette fin de raisonnement est elle valable ?

Cette "fin" est parfaitement correcte.

[jobherzt]

Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
avec k E R ?

Merci d'avance

Bon du coup j'arrive a la bourre, je poste quand meme le message que j'avais commencé a taper :

Oui, ca tient la route, et oui, il faut aussi montrer ca. notes que tu peux aussi tout montrer d'un seul coup en verifiant que ku+v appartient a F, cad verifier que ce qui est facile.