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Montrer que F est un R espace vectoriel

  1. max38

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    34

    Montrer que F est un R espace vectoriel

    Bonjour,
    Je commence juste les espaces vectoriels et je ne suis pas sur de repondre entierement a la question posé :

    Montrer que F ( (x,y,z)E R³ / 2x+y+z =0 ) est un R espace vectoriel.

    Dans un premier tps j'ai essayé de montrer que F etait un groupe Abelien et demontrant que les 3 proprietes etaient vraies :

    - Commutative :

    qq soit e1(x1,y1,z1) E F et e2(x2,y2,z2) E F
    (e1+e2) = (2*x1 + 2*x2, y1+y2, z1+z2)
    (e2+e1) = (2*x2 + 2*x1, y2+y1, z2+z1)
    et donc (e1+e2) = (e2+e1)

    - associative (même genre de démonstration)

    - admet un élément neutre 0F

    - Tout élément de F admet un opposé


    Ensuite j'essaie de montrer la multiplication externe.




    En démontrant que F est un groupe abelien et la multiplication externe je demontre que F est un espace vectoriel ?
    Ma methode n'est elle pas trop longue ?

    Merci pour votre aide


     


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  2. jobherzt

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    31
    Messages
    1 412

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    En gros c'est l'idée, sauf que tu te compliques la vie. F est un sous ensemble de R^3, qui lui est par definition un espace vectoriel. Ca c'est vrai puisque sans le preciser, ce sont les lois de R^3 que tu utilise.

    Donc tu sais deja que la loi + et la multiplication externe verifient les bon trucs (associativité, commutativité, tout ca) puisqu'elle viennent de R^3. Autrement dit, ton probleme se ramene a prouver que F est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel, ce qui est beaucoup plus simple.

    Ce qu'il reste a montrer, c'est que F est stable par ces operations (cad qu'on "reste dedans" quand on les applique), et qu'il contient 0. In fine, ca se ramene a montrer que:

    - F n'est pas vide (il contient au moins un elelement, peu importe lequel)
    - Pour tout a de R, pour tout u,v de F, au+v appartient a F.

    ce qui est essentiellement plus rapide que ce que tu as fait.
     

  3. jobherzt

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    31
    Messages
    1 412

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    En fait, ce que tu ecris est meme completement faux par exemple :

    (e1+e2) = (2*x1 + 2*x2, y1+y2, z1+z2)
    n'est evidemment pas vrai ! comme je te le dis, les lois que tu utilise sont celle de R^3, donc e1+e2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). tout ce que te dis la definition de F, c'est que si e1 appartient a F, alors 2x1+y1+z1=0, donc e1 peut s'ecrire (x1,y1, -2x1-y1).Idem pour e2, reste a montrer que e1+e2 peut aussi s'ecrire sous cette forme.
     

  4. max38

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    34

    Talking Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    En fait, ce que tu ecris est meme completement faux par exemple :



    n'est evidemment pas vrai ! comme je te le dis, les lois que tu utilise sont celle de R^3, donc e1+e2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2). tout ce que te dis la definition de F, c'est que si e1 appartient a F, alors 2x1+y1+z1=0, donc e1 peut s'ecrire (x1,y1, -2x1-y1).Idem pour e2, reste a montrer que e1+e2 peut aussi s'ecrire sous cette forme.
    Merci pour ta reponse jobherzt !
    Comme tu peux t'en rendre compte,je ne suis pas tres au point sur les EV ...

    Il faut que je démontres que F est un sous espace de R^3, d'accord.

    1- je peux dire que F n'est pas vide car le vecteur 0F(0,0,0) fait partie de F car il verifi 2x+y+z=0
    2- Soit u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2) deux elements de F.
    De part la definition de F, on sait que 2x1+y2+z1 = 0 et 2x2+y2+z2 = 0
    Pour savoir si (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2) appartient à F je dois évaluer 2*(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0

    Or 2*(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)= (2x1+y1+z1)+(2x2+y2+z2) = 0 + 0 = 0

    Donc qq soit (x1,y1,z1) E F et (x2,y2,z2) E F => (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) E F


    Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

    Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
    avec k E R ?

    Merci d'avance
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 864

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    Citation Envoyé par max38 Voir le message
    Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

    Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
    avec k E R ?
    Oui ton raisonnement tient parfaitement la route, et il te reste effectivement à montrer que , pour tout (x1,y1,z1) élément de F et tout k réel, k(x1,y1,z1) appartient à F.
     


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  6. max38

    Date d'inscription
    novembre 2007
    Messages
    34

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    oki, donc pour démontrer que pour tout (x1,y1,z1) élément de F et tout k réel, k(x1,y1,z1) appartient à F :

    on sait que si (x1,y1,z1) élément de F, 2x1+y1+z1=0. Maintenant il faut que j'évalue k(x1,y1,z1) :

    2*k*x1+k*y1+k*z1 = k*(2x1+y1+z1) = 2 * 0 = 0

    et donc qq soit (x,y,z) E F , k E R on a bien k(x,y,z) E F




    Cette fin de raisonnement est elle valable ?

    N'hésitez pas soulevez les "coquilles" ou les justesses de la rédaction.
     

  7. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 864

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    Citation Envoyé par max38 Voir le message
    Cette fin de raisonnement est elle valable ?
    Cette "fin" est parfaitement correcte.
     

  8. jobherzt

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Âge
    31
    Messages
    1 412

    Re : Montrer que F est un R espace vectoriel

    Citation Envoyé par max38 Voir le message
    Est ce que mon raisonnement tiens la route ?

    Sinon, il me semble qu'il faut également démontrer que k((x1,y1,z1) E F
    avec k E R ?

    Merci d'avance
    Bon du coup j'arrive a la bourre, je poste quand meme le message que j'avais commencé a taper :

    Oui, ca tient la route, et oui, il faut aussi montrer ca. notes que tu peux aussi tout montrer d'un seul coup en verifiant que ku+v appartient a F, cad verifier que ce qui est facile.
     


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