[démonstration] Image d'une application linéaire surjective

**Guillaume69** · 22/04/2008 - 16h49

Bonjour

$f \in \mathcal{L}(E,F)$
$f$ surjective $\Leftrightarrow \mathcal{I}m= F$

Quelqu'un peut il me dire si ma démonstration est juste ?

$\Rightarrow]$
* $\mathcal{I}mf \subset F$
* $F \subset \mathcal{I}mf ?$
Soit $y \in F$
$f$ surjective $\Rightarrow \exist x \in E / y=f(x)$
$f(x) \in \mathcal{I}mf \Rightarrow y \in \mathcal{I}mf \Rightarrow F \subset \mathcal{I}mf$
$\mathcal{I}mf = F$

$\Leftarrow]$
Soit $y \in F = \mathcal{I}mf$
$y \in \mathcal{I}mf , \exist x \in E / y=f(x)$
$f$ surjective

Une autre question : " $(\mathcal{L}(E,F), . , + )$ est un espace vectoriel"
Ceci veut dire que l'ensemble des applications linéaires E dans F stable pour la loi . et pour la loi + est un espace vectoriel ?

Merci bien

Flyingsquirrel · 22/04/2008 - 17h16

Salut

Je suis d'accord pour la démonstration.

Envoyé par Guillaume69

Une autre question : " $(\mathcal{L}(E,F), . , + )$ est un espace vectoriel"
Ceci veut dire que l'ensemble des applications linéaires E dans F stable pour la loi . et pour la loi + est un espace vectoriel ?

Oui, sauf qu'on aurait plutôt tendance à le noter $(\mathcal{L}(E,F),\,+ ,\,. )$ . La loi en deuxième position fait référence à la loi externe et celle en première position à la loi du groupe commutatif $(\mathcal{L}(E,F),\,+)$ .

Edit : "L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel pour les lois + (interne) et . (externe)." (on ne prend pas que les applications linéaires stables par ces lois, touts les applications de L(E,F) le sont).

**Guillaume69** · 22/04/2008 - 17h39

Envoyé par Flyingsquirrel

(on ne prend pas que les applications linéaires stables par ces lois, touts les applications de L(E,F) le sont).

Quand je disais stable (au singulier), je parlais de l'ensemble L(E,F), pas des applications.

Mais tout compte fait, L(E,F) est toujours stable pour la loi + et la loi . non ? Dans ce cas, pourquoi écrire ces deux symboles ?

(désolé si je suis pointilleux sur quelques détails, mais en maths j'aime bien avoir tout parfaitement compris ^^)

Flyingsquirrel · 22/04/2008 - 18h00

Envoyé par Guillaume69

Quand je disais stable (au singulier), je parlais de l'ensemble L(E,F), pas des applications.

Effectivement

Mais tout compte fait, L(E,F) est toujours stable pour la loi + et la loi . non ?

Si "toujours" signifie "quelles que soient les lois", non. La loi notée "+" n'est pas forcément l'addition classique des fonctions. On peut très bien définir "l'addition" sur $\mathcal{L}(E,F)$ d'une manière tordue afin que la somme de deux applications linéaires ne soit plus linéaire.

**Guillaume69** · 22/04/2008 - 20h02

Envoyé par Flyingsquirrel

Si "toujours" signifie "quelles que soient les lois", non. La loi notée "+" n'est pas forcément l'addition classique des fonctions. On peut très bien définir "l'addition" sur $\mathcal{L}(E,F)$ d'une manière tordue afin que la somme de deux applications linéaires ne soit plus linéaire.

Toujours signifiait "quels que soient les éléments de L(E,F)" (j'aurais dû être plus précis ^^), je ne savais pas qu'une loi $+$ pouvait être autre chose qu'une "addition classique".
Comment peut-on définir une addition différemment ? J'arrive pas trop à concervoir ça

Flyingsquirrel · 22/04/2008 - 20h58

Envoyé par Guillaume69

Toujours signifiait "quels que soient les éléments de L(E,F)" (j'aurais dû être plus précis ^^),

Dans ce cas je ne comprends plus la question. Quelle différence fais-tu entre "être stable" et "être toujours stable" ? La définition de la stabilité de $\mathcal{L}(E,F)$ par la loi notée "+" stipule déjà que pour tout $f,\,g$ pris dans $\mathcal{L}(E,F)$ , $f+g$ est encore dans $\mathcal{L}(E,F)$ .

je ne savais pas qu'une loi $+$ pouvait être autre chose qu'une "addition classique".

+ et * ne sont que des notations qui permettent d'écrire simplement les choses mais elles n'imposent pas de condition aux lois qu'elles représentent. Par exemple, avec la notation multiplicative, $\left(\mathcal{L}(E,F),\,*)$ où $f*g=f\left(g(x)\right)$ est un groupe mais la loi de composition interne n'est pas la multiplication des fonctions, bien qu'elle soit notée *...

**Guillaume69** · 22/04/2008 - 22h07

Envoyé par Flyingsquirrel

Dans ce cas je ne comprends plus la question. Quelle différence fais-tu entre "être stable" et "être toujours stable" ?

Absolument aucune en fait

"toujours" était un mot totalement superflu !

Envoyé par Flyingsquirrel

La définition de la stabilité de $\mathcal{L}(E,F)$ par la loi notée "+" stipule déjà que pour tout $f,\,g$ pris dans $\mathcal{L}(E,F)$ , $f+g$ est encore dans $\mathcal{L}(E,F)$ .

C'est pour cela que je me questionnais quant à l'utilité d'écrire que $(\mathcal{L}(E,F), + , . )$ est un espace vectoriel, sachant que $\mathcal{L}(E,F)$ en est déjà un.

invite43219988 · 23/04/2008 - 00h52

$L(E,F)$ n'est pas un espace vectoriel, c'est juste un ensemble.
A toi de lui donner deux lois de manière à ce qu'il soit un espace vectoriel.
En fait l'espace vectoriel, c'est le triplet : "(ensemble, loi interne, loi externe)" mais on allège souvent les notations en le notant seulement "ensemble" car on considère les lois "usuelles" sur cet ensemble (ce sont les lois les plus classiques en quelque sorte), il n'y a donc pas d'ambiguité.