Les Polynomes Interpolateurs de Lagrange

[invitedf74db20]

Bonjour à tous

Dans un magasine scientifique j'ai lu qu'on parlait des Polynômes interpolateur de Lagrange pour le calcul des coefficients d'une matrice Est-ce que quelqu'un pourrait me faire comprendre ce qu'est un polynôme interpolateur de Lagrange et simplement à quoi ça faire!!

Merci d'avance
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[invitecb6f7658]

Salut!

Heu...moi j'en ai jamais entendu parler (1ère), aussi peut-être qu'en allant sur wikpédia tu trouveras quelquechose de compréhensible.

PS:Je ne sais pas si on peut poster des liens donc je ne le fait pas, mais en tapant polynômes Lagrange on trouve

[invitedf74db20]

Ouep je sais qu'on trouve sauf que C trop banal on doit commenter l'article pour un cour d'algèbre sauf que sur Wiki tout le monde peut le trouver moi j'essaye de trouver plus original ^^ Et en fait la notion de polynomes interpolateur de Lagrange je dois l'avoir bien comprise pr continuer

[Coincoin]

Salut,
Prend un certain nombre de points.
Un polynôme interpolateur est un polynôme qui passe par tout ces points. Si tu as n points, il faut un polynôme de degré au moins n-1 (par exemple, pour 2 points ça sera une droite, pour 3 points une parabole, ...).

Comment sont construits les polynômes interpolateurs de Lagrange ?
Si j'appelle (xi,yi) mes points avec i allant de 1 à n. Je considère un point particulier : le point j (de coordonnée xj,yj). Il n'est pas compliqué de faire un polynôme qui s'annule en tous mes points sauf en j : il suffit de faire (x-x1)(x-x2)...(x-x(j-1))(x-x(j+1))...(x-xn). Tu vois que si tu prends x=xi avec i différent de j alors un de ces termes s'annule. Écris plus proprement ce polynôme s'écrit : . Maintenant, raffinons un peu : je souhaiterais que mon polynôme non seulement s'annule aux autres points mais en plus soit égal à 1 en j. Il suffit que je divise chaque terme (x-xi) par (xj-xi), comme ça chaque terme vaudra 1 en x=xj et ça sera bon.
Bref, a la propriété de valoir 0 en tous les points xi autre que xj et de valoir 1 en xj.
Comment je peux avoir mon polynôme interpolateur maintenant ? Simplement en utilisant tous ces polynômes : . En x=xj seul k=j me donne un truc non-nul (car P_k(x_j)=0 pour k différent de j). Et vu que P_j(x_j)=1, alors en x=xj ça me donne y_j. Donc j'ai bien un polynôme qui passe par mon point x_j. Et ça marche même pour les autres points.

En pratique, les polynômes interpolateurs de Lagrange sont une méthode un peu bourrine : si j'ai beaucoup de point, j'ai un polynôme de degré énorme, et en plus, même s'il passe bien par tous les points, il fait n'importe quoi entre mes points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf74db20]

Grave que c'est une méthode un peu bourrine LoL mais je vois pas le rapport avec le calcul de coefficient pour les matrices ?

Encore merci Le C@nArD

[invitedf74db20]

Il n'est pas compliqué de faire un polynôme qui s'annule en tous mes points sauf en j : il suffit de faire (x-x1)(x-x2)...(x-x(j-1))(x-x(j+1))...(x-xn).

Ici en fait c'est le polynome qui vaut l'ensemble des facteurs c'est ça ?

P(x) = (x-x1)(x-x2)...... (x-x(j-1))(x-x(j+1))...(x-xn) ?

Ensuite je comprends pas certaines valeurs du polynome du style (x-x(j-1))(x-x(j+1)) ce sont des racines du polynomes?

[Scorp]

Oui, tu veux un polynôme qui s'annulle en .
Ce n'est donc pas bien difficile, il suffit de prendre le produit des , pour i différent de j comme on te l'a indiqué.
Prenons un exemple simple : tu as 3 point x=1, 2,3, tu veux un polynôme passant par cest trois point tel qu'en x=1 et x=3 on ait P(x)=0, mais non nul pour x=2. En claire, tu veux que x=1 et x=3 soient des racines du polynôme. Tu vois bien que p(x)=(x-1)(x-3) fonctionne bien. En x=2, il aura une certaine valeur que tu peux ajuster par la suite. Par exemple, si tu veux un polynôme Q tel qu'en x=2 Q(x)=1, il suffit d'utiliser le polynôme P déjà fabriqué : Q(x)=P(x)/P(2) qui vaut bien 0 en x=1 et 3 et qui vaut 1 en x=2.
Coincoin t'a donné la formule générale pour n points.
Il faut remarqué que les polynômes de Lagrange ne sont qu'une possiblité pour interpoler tes points, il y a beaucoup d'autres polynômes possibles (une infinité en fait)

[invitedf74db20]

OKi c'est plus clair que même avec un exemple concret ^^

Merci

Et sinon toujours pas d'explication pour l'emploi de ces polynomes de le calcul des coefficients d'une matrice?

[Scorp]

Moi j'avoue que je ne comprend pas trop ce que tu cherches ??? Parles-tu d'un problème en particulier ? A partir de quoi veux-tu calculer tes coefficients (tu dois bien avoir des données à la base, non ?)
Enfin bref, essaye de m'en dire plus...

[Gwyddon]

Hello,

Juste une petite remarque en passant (Coincoin ayant dit l'essentiel) pour ceux qui lisent cette discussion et qui seraient intéressés par des détails plus techniques : pour N points, les N polynômes interpolateurs de Lagrange sont une base de l'espace vectoriel complexe des polynômes de degré inférieur ou égal à N.

Cela permet de créer des bases rattachées à des points particuliers, ça peut avoir son utilité.

[pat7111]

Je rajoute mon grain de sel sur la derniere remarque de Coincoin et les limites de cette methode d'interpolation :

je me souviens d'un sujet de concours (StCyr 93 si j'ai bonne memoire, pour les collectionneurs d'annales) ou on etudiait une fonction f (la j'ai oublie laquelle ...) sur un segment et la suite de fonctions fn obtenues en interpolant avec Lagrange sur le segment decoupe de plus en plus finement. Par continuite, il est evident que (fn) converge simplement vers f mais dans ce cas particulier, la convergence n'etait pas uniforme et les inversions genre "derivee de la limite = limite de la derivee" et autres etaient fausses.