Reduction endomorphisme

[invite70c8d055]

Bonjour, voila mon exercice :



0 : question de cours, facile
1 : P(X) = X² + 3X + 4
2 : Pas de racines dans R. Le polynome n'est pas scindé, f n'est donc pas diagonalisable, f n'a donc pas de valeurs propres.
3 : deg polynome caractéristique = n
4 : Aucune idée de comment répondre...

Merci pour l'aide !
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[invitebb921944]

Bonjour.

2 : Pas de racines dans R. Le polynome n'est pas scindé, f n'est donc pas diagonalisable, f n'a donc pas de valeurs propres.

Un endomorphisme peut tout à fait ne pas être diagonalisable et admettre des valeurs propres.
En revanche, tu sais que le polynôme minimal de ton endomorphisme divise tout polynôme annulateur de ton endomorphisme et que les valeurs propres de ton endomorphisme sont racines de ce polynôme minimal.

[invite70c8d055]

Bonjour.

Un endomorphisme peut tout à fait ne pas être diagonalisable et admettre des valeurs propres.
En revanche, tu sais que le polynôme minimal de ton endomorphisme divise tout polynôme annulateur de ton endomorphisme et que les valeurs propres de ton endomorphisme sont racines de ce polynôme minimal.

En effet tu as raison.
Sinon pas d'idée pour la dernière question ?

[invite986312212]

est-ce qu'un polynôme de degré impair n'a pas toujours au moins une racine réelle?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite70c8d055]

est-ce qu'un polynôme de degré impair n'a pas toujours au moins une racine réelle?

Ah oui en effet, cela me parait être une bonne justification

[invite70c8d055]

Tiens j'en profite pour poser une autre question : qu'est-ce que cela signifie lorsqu'une application possède une infinité de valeurs propres ?

[martini_bird]

Salut,

par exemple l'opérateur de dérivation sur l'espace vectoriel des fonctions réelles sur admet pour valeur propre n'importe quel réel, comme tu peux le vérifier en considérant la fonction .

Cordialement.