Projecteur

[invitebcc0a73f]

Bonjour,

J'ai un petit soucis sur un exercice avec des projecteurs.
Voici la question :

Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que p + q (p et q deux projecteurs de E) soit un projecteur est que ce qui est encore équivalent à .

Tout d'abord j'ai commencé par démontrer :
ce qui signifie que doit être égale à 0, mais je ne suis pas très sur de moi. Enfin je ne sais pas si on a le droit de développer comme je l'ai fait.

Sinon la question d'après je ne vois pas du tout comment faire.

L'endomorphisme p + q étant encore un projecteur montrer que
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[invitebe0cd90e]

Bonjour,

J'ai un petit soucis sur un exercice avec des projecteurs.
Voici la question :

Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que p + q (p et q deux projecteurs de E) soit un projecteur est que ce qui est encore équivalent à .

Tout d'abord j'ai commencé par démontrer :
ce qui signifie que doit être égale à 0, mais je ne suis pas très sur de moi. Enfin je ne sais pas si on a le droit de développer comme je l'ai fait.



Sinon la question d'après je ne vois pas du tout comment faire.

L'endomorphisme p + q étant encore un projecteur montrer que

Normalement, tu as le droit de developper. Sauf erreur si V est un espace vectoriel est une algèbre.. (Attention ca n'est donc pas vrai en général ! Tu peux verifier qu'ici ca marche parce que les applications sont lineaires, donc f(p(x)+q(x))=f(p(x))+f(q(x))). ..

Pour la 2e, applique la definition : Soit y dans Im(p+q), par def il existe x tel que p(x)+q(x)=y, donc Im p+q = Im p + Im q. reste a montrer que leur intersection est vide, a priori a l'aide de la question 1.

[invitebcc0a73f]

Ok merci pour votre réponse.