Loi de Poisson convergeant vers loi normale

FAN FAN · 17/05/2008 - 10h22

Bonjour,
Qui peux m'aider pour cet exercice:
X_a famille de variables aléatoires de même loi de Poisson P(a), c'est à dire loi de Poisoon de paramètre a >0.
Montrer (X_a - a)a^-1/2 converge en loi ver une variable aléatoire N(0,1) lorsque a tend vers l'infini (convergence vers la loi normale réduite centrée).

J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...

God's Breath · 17/05/2008 - 10h50

Bonjour,

Envoyé par FAN FAN

J'ai essayé en cherchant la limite de la fonction caractéristique, de (X_a - a) a^-1/2 mais je n'arrive pas à démontrer que cette limite est bien exp ((-t^2)/2)...

Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de $\frac{X_a - a}{\sqrt{a}}$ ?

Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.

FAN FAN · 17/05/2008 - 11h44

Envoyé par God's Breath

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé comme fonction caractéristique de $\frac{X_a - a}{\sqrt{a}}$ ?

Il me semble qu'un bête développement limité de l'argument de l'exponentielle dans cette fonction caractéristique conduit au résultat voulu.

J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
Même en essayant un développement limité...

God's Breath · 17/05/2008 - 12h33

Envoyé par FAN FAN

J'ai trouvé esp[-i(a^1/2)t) + a(exp[i(a^-1/2)t - 1)]
Cela n'a pas l'air de tendre vers la fc de la loi normale réduite... ?
Même en essayant un développement limité...

Si j'ai bien compris ton parenthèsage, tu as trouvé $\exp(u)$ avec $u = -ita^{1/2} + a $ \exp\left[i\frac{t}{a^{1/2}}\right] - 1 $ = a\exp\left[i\frac{t}{a^{1/2}}\right] - a- ita^{1/2}$

Comme $\frac{1}{a^{1/2}}$ tend vers 0 lorsque $a$ tend vers l'infini, tu as le développement limité
$\exp\left[i\frac{t}{a^{1/2}}\right] = 1 + i\frac{t}{a^{1/2}} - \frac{t^2}{2a} + o $ \frac1a $$ , donc
$u = a + ita^{1/2} - \frac{t^2}{2} + o (1) - a - ita^{1/2} = - \frac{t^2}{2} + o (1)$ , et tu as bien
$\lim_{a\to\infty} u = - \frac{t^2}{2}$

FAN FAN · 17/05/2008 - 12h51

Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
Encore merci !

God's Breath · 17/05/2008 - 13h16

Envoyé par FAN FAN

Merci beaucoup, mon erreur venait que je m'obstinais à développer en 1/a puis 1/a tendant vers 0. Ce n'étais pas la bonne mérhode !
Je vois que tu as obtenu la bonne limite en développant en t .
Encore merci !

Je n'ai pas développé en $t$ !!!

J'ai simplement écrit que $\exp(x) = 1 +x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ , puis j'ai substitué $x = i\frac{t}{a^{1/2}}$ qui tend bien vers 0 lorsque, $t$ étant fixé, $a$ tend vers l'infini.