Intégrale généralisée

inviteb4d8c3b4 · 25/05/2008, 20h37

Salut à tous,

j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre:

$\text{[math]}$

1- J'en suis à la première question qui me demande avant tout de démontrer qu'elle est convergente. Voilà ce que j'ai écrit:
Pour une valeur de x quelquonque et fixée, on définie la fonction f(t) de la variable t par $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Le facteur ln t n'est pas défini en 0 et celà se répercute sur f(t). Alors on peut écrire que
f(t) est défini et continue sur ]0;+oo[. Donc pour tout réel x, f(t) est défini et continue sur
]0;x]. Donc a priori, il y a un problème de convergence en 0 uniquement.

Et là, je voit pas comment faire en 0, j'en suis là: $\text{[math]}$ et je sais plus quoi faire ensuite.

Merci de votre aide...

**God's Breath** · 25/05/2008, 21h19

Bonjour,, il vaudrait mieux noter $\text{[math]}$ la fonction de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ fixé, c'est-à-dire $\text{[math]}$

Cette fonction est définie sur $\text{[math]}$ , et on se demande si son intégrale sur cet intervalle est convergente.
Tu ne peux donc pas éluder le problème à la borne infinie...

Le plus simple est de trouver des exposants $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ convenables tels que
1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$
et conclure par comparaison avec les intégrales de Riemann.

inviteb4d8c3b4 · 25/05/2008, 21h26

Ha ouais, carrément !? Bon, je vais plancher là-dessus dès demain matin et j'exposerai à la suite de ce fil ce que j'ai trouvé.

Merci !

inviteb4d8c3b4 · 26/05/2008, 11h52

Alors voilà, pour la borne en 0 voici ce que j'ai écrit, dites-moi si c'est bon svp :

en 0, on a $\text{[math]}$ on peut majorer le ln t:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$

Selon les critères de similitude d'une intégrale de Riemann, il y a convergence si :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Comme x est au minimum égal à 0, la fonction $\text{[math]}$ converge
donc $\text{[math]}$ converge aussi et donc en 0, l'intégrale converge.

Je bosse sur la borne en +oo, pour l'instant en 0, ça tient la route ?

Merci

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inviteb4d8c3b4 · 26/05/2008, 13h01

Ok, je crois avoir trouvé pour +oo aussi :

on pose : $\text{[math]}$

or : $\text{[math]}$

Ce qui se traduit par $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

En +oo, il y a convergence si l'exposant de la variable est >1, ce qui est le cas ici. Donc selon les critères de convergence des intégrales de Riemann, $\text{[math]}$ converge, alors $\text{[math]}$ converge aussi et l'intégrale converge donc aussi en +oo.

Vous en pensez quoi donc pour ce que je trouve ici ainsi que dans le message précédent en 0 ?

Merci

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