Somme, Fourier ?

Kley · 01/06/2008 - 13h16

$a_n= \frac{1}{\pi} \int_{ \frac{-\pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{4} \ cos(nx) \ dx$

$a_n=\frac{(-1)^n}{2(2n+1)}$ et $b_n=0$

Je trouve bien le résultat par la suite,MERCI

Juste par curiosité le $b_n=0$ dans le cas ou la fonction est paire sur la période, la ce n’est pas le cas?

.

A+

God's Breath · 01/06/2008 - 13h38

Envoyé par Kley

Juste par curiosité le $b_n=0$ dans le cas ou la fonction est paire sur la période, la ce n’est pas le cas?

Si tu veux parler de fonction paire sur la période, il faut centrer la période en 0!!!
Dessine le créneau sur la période $[-\pi,\pi]$ , et tu verras que l'on a bien une fonction paire, donc des $b_n$ nuls.

Kley · 01/06/2008 - 14h44

Envoyé par God's Breath

Si tu veux parler de fonction paire sur la période, il faut centrer la période en 0!!!
Dessine le créneau sur la période $[-\pi,\pi]$ , et tu verras que l'on a bien une fonction paire, donc des $b_n$ nuls.

Ok ,

Pour retrouver les valeurs, de ce genre de somme en cos
ça se fait par habitude ?

God's Breath · 01/06/2008 - 14h57

Envoyé par Kley

Pour retrouver les valeurs, de ce genre de somme en cos
ça se fait par habitude ?

Comme je n'aime pas travailler sur une période quelconque, je commence toujours avec la période $2\pi$ , et je fais ensuite un changement de variable pour obtenir le résultat sur une autre période...

Pour obtenir le résultat, je suis obligé de prendre $f(x) = \frac{\pi}{4}$ sur $[0,\pi/2]$ .
Pour n'obtenir que des cosinus, il me faut une fonction paire, donc $f(x) = \frac{\pi}{4}$ sur $[-\pi/2,0]$ .
L'habitude, et le flair, fournissent le complément sur la deuxième demi-période.

Kley · 01/06/2008 - 15h02

Envoyé par God's Breath

Comme je n'aime pas travailler sur une période quelconque, je commence toujours avec la période $2\pi$ , et je fais ensuite un changement de variable pour obtenir le résultat sur une autre période...

Pour obtenir le résultat, je suis obligé de prendre $f(x) = \frac{\pi}{4}$ sur $[0,\pi/2]$ .
Pour n'obtenir que des cosinus, il me faut une fonction paire, donc $f(x) = \frac{\pi}{4}$ sur $[-\pi/2,0]$ .
L'habitude, et le flair, fournissent le complément sur la deuxième demi-période.

MERCI pour ton aide, God's Breath

breukin · 01/06/2008 - 18h51

Il n'empêche que ta question et ta formule sont toujours mal formulées.
Car on ne peut avoir, pour tout x, et pour toute suite λ_n, ta série de somme constante même avec cos(xλ_n).

En effet, soit deux suites λ_n et λ'_n égales sauf à l'ordre k donné où elles prennent des valeurs différentes quelconques.
Alors tu devrais avoir par différence cos(xλ_k) = cos(xλ'_k).

Ce qui ne peut être vrai sans conditions sur x ou sur λ_k ou λ'_k.

Il serait sain que tu puisses poser correctement la série dont tu te proposes de démontrer qu'elle vaut π/4. Car la formule dans le post #8 est toujours fausse.

Kley · 02/06/2008 - 15h50

Salut,

Envoyé par breukin

Il n'empêche que ta question et ta formule sont toujours mal formulées.
Car on ne peut avoir, pour tout x, et pour toute suite λ_n, ta série de somme constante même avec cos(xλ_n).

En effet, soit deux suites λ_n et λ'_n égales sauf à l'ordre k donné où elles prennent des valeurs différentes quelconques.
Alors tu devrais avoir par différence cos(xλ_k) = cos(xλ'_k).

Ce qui ne peut être vrai sans conditions sur x ou sur λ_k ou λ'_k.

Il serait sain que tu puisses poser correctement la série dont tu te proposes de démontrer qu'elle vaut π/4. Car la formule dans le post #8 est toujours fausse.

?

Pourtant bien j'ai posé des conditions sur le $\lambda _n$ et le x

Envoyé par Kley

Désolé breukin
J’ai fait une faute dans l’écriture

, il fallait lire la somme comme l’a fait Celestion

C'est-à-dire : $\frac {\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n+1} \ \cdot \ \ cos(\lambda _n \cdot x)$

Ah je l’ignorais,

Alors j'ai: " $\lambda _n= (2n+1) \cdot \frac { \pi}{2L}$ " et bon x varie entre 0 et L .

Je peux avoir une démonstration illustrant que cette somme= $\frac{\pi}{4}$ ?

A+

on a montré que:

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cos (2n+1)x$ pour $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ,

Donc on a bien:

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\cos (2n+1) \frac{2 \pi}{L}x$ avec 0<x<L ("changement de variable")

Tu n'es pas d'accord!!

Romain-des-Bois · 02/06/2008 - 16h10

Je suis complètement d'accord avec breukin

Je cite ton premier message :

Envoyé par Kley

Salut à tous,
Alors vous connaissez cette egalité?:
$\frac {\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n+1} \ \cdot \ \ cos\lambda _n \cdot x$

Si oui , comment arriver à ce résultat

merci , Ciao

Il n'y a aucun quantifieur ( $\forall$ ) !

Romain

EDIT : sans oublier l'énorme flou sur ce qui est ou non dans le cosinus...

Kley · 02/06/2008 - 16h15

Envoyé par Romain-des-Bois

Je suis complètement d'accord avec breukin

Je cite ton premier message :

Il n'y a aucun quantifieur ( $\forall$ ) !

Romain

EDIT : sans oublier l'énorme flou sur ce qui est ou non dans le cosinus...

si, dans mon post #8 !!

breukin · 02/06/2008 - 18h08

Oui, d'accord, effectivemement.
C'est ton "alors j'ai" que je n'avais pas compris comme étant l'explicitation de tes hypothèses.
Tout rentre dans l'ordre.