(-1)^sqrt(2)

[Szym]

Bonjour,

(desole je n'ai pas d'accents sur mon clavier et je ne sais pas entrer les codes ascii sous linux)

Qu'est dans ?

Je sais que avec peut s'ecrire avec .
On a alors pour m pair, si m impair et n impair, n'est pas defini dans pour m impair et n pair.
Mais comment raisonner quand q n'est pas rationnel?
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[invite4ef352d8]

Salut !

" (-1)^r " pour r irationel, ca n'est jammais un réel, (et meme dans les nombres complexe c'est mal définit)

[Szym]

Peut on démontrer que ?

Et que veux tu dire par mal défini dans ?

Je sais qu'on définit, pour : avec et
mais bon avec il n'y a pas un point où la fonction est continue, je ne vois pas comment déterminer la limite...

[invite4ef352d8]

Tu ne pourra pas le "prouver" tous simplement parceque tu ne l'as pas définit ! (à la base (-1)^n est définit pour n entier seulement, eventuellement pour n rationelle à dénominateur impaire, mais déja c'est moins clair...). après tous vu que ca n'est pas définit rien ne m'empeche de poser (-1)^Pi = 42


sinon , Les "bonnes facons" de définir (-1)^x dans C, c'est (-1)^x=exp(k*i*Pi*x), avec k un entier impaire. (car (-1)=exp(i*k*Pi) )

mais pour un x fixé (non entier) on trouve plusieur valeur possible selon la valeur qu'on choisit pour k... pour x rationelle dont le dénominateur est impaire il n'y à qu'un seul facon d'obtenir un réel, donc on peut d'une certaine facon dire qu'on choisit la valeur réel. pour x irationelle, qu'elle que soit l'entier k qu'on choisit on obtiens un nombres complexe

[A voir en vidéo sur Futura]

[Szym]

Tu ne pourra pas le "prouver" tous simplement parceque tu ne l'as pas définit !

C'est vrai qu'il y a un problème de définition.
Je peux par exemple définir, pour

.

C'est une approche tout à fait raisonnable pour exprimer , écrire



équivaut à écrire



la limite existe et on a




On se retrouve par contre avec



alors que

diverge.

[Szym]

Ok dans on a




avec :

Ce qui est déjà plus facile à imaginer.

On voit d'ailleurs qu'il ne peut pas y avoir de valeur réelles, quel que soit k.

Mais mes définitions qui sont équivalentes pour 2 mais pas pour (-1) dans me frustrent.

[Romain-des-Bois]

Je trouve que c'est une très bonne question, très intéressante...
Je vais suivre les débats

[invitec053041c]

Ok dans on a

Comme l'a dit Ksilver, ce genre de choses sont très mal définies dans IC, du moins il faut faire vraiment gaffe.
En utilisant des puissances non entières dans IC, on arrive à montrer de façon élémentaire que i=1.



On met tout à la puisssance 1/4, cela donne:

soit 1=i, pas génial..

Cela vient de la non bijectivité de l'exponentielle complexe.

[God's Breath]

Bonjour Szym,

Tu as tout loisir de définir pour tout réel, par exemple si est algébrique, si est transcendant ; cela n'engage que toi...

L'important est de savoir ce que tu veux faire de ton symbole ; j'imagine que tu veux avoir :
– la valeur usuelle de pour entier ;
– une valeur réelle (ou complexe, c'est à préciser) pour tout réel ;
– la propriété fonctionnelle : pour tous et réels ;
– une propriété de régularité de (variations bornées, continuité, intégrabilité locale, mesurabilité...).

Il faut préciser les conditions que tu imposes à ce que tu veux définir.
Dans la liste (non exhaustive) que je te propose, certaines combinaisons sont incompatibles.