transformée de Hilbert et enveloppe d'un signal

[erff]

Bonjour !

Je voulais savoir d'où venait ceci :

- Lorsqu'on a un signal x(t) et qu'on calcule ( est la transformée de Hilbert) alors est l'enveloppe supérieure du signal x(t)..

- J'ai essayé des simulations sous Matlab et effectivement on voit bien apparaître le phénomène.

Bref, j'aimerais juste avoir quelques justifications théoriques, ou à défaut des explications "avec les mains" car je ne vois pas d'où ça sort.


Merci.

[Rincevent]

salut,

Déplacé en math où tu auras peut-être plus de réponses...

Commentaire rapide : sur Wiki, il y a un passage qui explique grossièrement le lien avec la construction d'une fonction analytique et j'ai l'impression que ça pourrait t'aider à comprendre

[erff]

sur Wiki, il y a un passage qui explique grossièrement le lien avec la construction d'une fonction analytique et j'ai l'impression que ça pourrait t'aider à comprendre

J'avais déjà lu cet article, mais je ne vois toujours pas pourquoi on obtient en pratique une enveloppe du signal. Le souci est déjà de définir ce qu'est une enveloppe. Je joins un exemple :

Généré par le code suivant :

>> t=0:0.01:5;
>> x=(0.5.*sin(4.*t)+1).*cos(30.* t+2.*sin(3.*t));
>> y=abs(hilbert(x));
>> plot(t,[x;y]);

NB : hilbert(x) calcule directement x+j*H[x](t) et non la transformée de Hilbert.

PS : on constate qu'on s'éloigne de l'enveloppe si le signal est mal échantillonné....

Merci.

[erff]

Re !

Je viens de faire plusieurs essais, et on constate qu'on atteint vite les limites, par exemple dans le cas x(t)=2+sin(t), on voit que l'enveloppe complexe est quasiement confondue avec le signal.
De plus, si le signal possède des maxima négatifs, ils seront simplement ignorés...

Bref, pas mal de contre-exemples qui font que cette méthode a ses limites, car autant interpoler par spline cubique.

Cependant, j'ai quand même l'impression (peut-être à tort) que la transformée de Hilbert d'un signal (reel) s'annule en les points où le signal est maxi (ou mini), et je n'arrive pas à voir pourquoi analytiquement (je ne connais presque rien de la théorie des distributions).

Merci