théorème fondamental de la géométrie affine

invite769a1844 · 17/06/2008, 11h49

Bonjour,

j'ai un souci avec cet exercice:

L'énoncé de ce théorème est le suivant:

Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ deux espaces affines réels de même dimension $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ une application bijective de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ est une application affine si et seulement si elle envoie trois points alignés sur trois points alignés.

On part de l'hypothèse que $\text{[math]}$ envoie trois points alignés sur trois points alignés.

a) Montrer que si $\text{[math]}$ est un sous-espace affine de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est un sous-espace affine de $\text{[math]}$ .

b) Soit $\text{[math]}$ un hyperplan de $\text{[math]}$ . Montrer que la dimension de $\text{[math]}$ est strictement inférieure à $\text{[math]}$ .
En déduire que les images par $\text{[math]}$ des points d'une base affine de $\text{[math]}$ forment une base affine de $\text{[math]}$ , puis que les images de $\text{[math]}$ points ( $\text{[math]}$ ) affinement indépendants sont affinements indépendants.

c) En déduire que l'image d'une droite est une droite, l'image d'un plan est un plan, puis que les images de deux droites parallèles forment deux droites parallèles.

d) Montrer que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des points de $\text{[math]}$ non colinéaires avec $\text{[math]}$ alors les images $\text{[math]}$ des points $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ vérifient: $\text{[math]}$ .

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux points distincts de $\text{[math]}$ . Pour tout réel $\text{[math]}$ , on considère le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Remarquer qu'il existe un unique réel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
On peut donc définir une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

e) Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux points de $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . En utilisant un point $\text{[math]}$ auxiliaire hors de la droite $\text{[math]}$ et des parallèles construire le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .
Par une méthode analogue, construire le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

f) Déduire des constructions précédentes que $\text{[math]}$ est un endomorphisme du corps de $\text{[math]}$ , et donc que $\text{[math]}$ est l'application identité.

g) Montrer que $\text{[math]}$ est affine.

h) On vient de montrer un sens du théorème. Que pensez-vous de la réciproque?

i) Montrer que les hypothèses ( $\text{[math]}$ ), (f bijective) et (le corps de base est $\text{[math]}$ ) sont nécessaires.

à partir de la e) j'ai du mal à comprendre ce qui est demandé.

L'utilité du point $\text{[math]}$ et des parallèles m'échappe, pour construire le point $\text{[math]}$ j'aurais tendance à partir de $\text{[math]}$ puis avancer de $\text{[math]}$ , puis de $\text{[math]}$ ,
puisque
$\text{[math]}$ .

Qu'entends-t'on par construire? Faire un dessin?

Merci pour votre aide.

**God's Breath** · 17/06/2008, 12h44

Bonjour,

Envoyé par rhomuald

Qu'entends-t'on par construire? Faire un dessin?

Constuire, c'est faire un dessin, et expliquer comment on l'a fait, en usant de termes mathématiqes.

Par exemple lorsque tu dis

Envoyé par rhomuald

pour construire le point $\text{[math]}$ j'aurais tendance à partir de $\text{[math]}$ puis avancer de $\text{[math]}$ , puis de $\text{[math]}$

ton langage n'est pas mathématique.

invite769a1844 · 17/06/2008, 16h34

ok je vais essayer de parler plus mathématiques. ^^

Soit $\text{[math]}$ . On définit le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme, ainsi $\text{[math]}$ ,

on définit ensuite le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme, ainsi $\text{[math]}$ ,

et donc $\text{[math]}$ .

Le point $\text{[math]}$ est alors l'unique point tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme.

invite769a1844 · 17/06/2008, 16h48

Bon et pour le produit je fais à peu près pareil en réutilisant le point $\text{[math]}$ ,

je définis le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme.

Ainsi $\text{[math]}$ .

Je définis ensuite le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Le point $\text{[math]}$ est alors l'unique point tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 17/06/2008, 17h28

J'ai du mal en revanche pour la f), pour montrer que $\text{[math]}$ est un endomorphisme du corps $\text{[math]}$ .

**God's Breath** · 18/06/2008, 16h20

Bonjour rhomuald,

Plus simple : $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ .

Commences-tu à saisir l'utilité du point $\text{[math]}$ ?

**God's Breath** · 18/06/2008, 16h25

Envoyé par rhomuald

je définis le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme.

Il ne s'agit pas de définir, mais de construire le point...

invite769a1844 · 19/06/2008, 11h49

Envoyé par God's Breath

Il ne s'agit pas de définir, mais de construire le point...

bonjour gb, je ne saisis pas vraiment la nuance entre "contruire" et "définir".

Dans ce que j'ai écris, j'ai construit ou défini les points?

**God's Breath** · 20/06/2008, 11h33

Envoyé par rhomuald

bonjour gb, je ne saisis pas vraiment la nuance entre "contruire" et "définir".

Dans ce que j'ai écris, j'ai construit ou défini les points?

Définir un point, c'est le caractériser par une relation mathématique qui assure existence et unicité.

Tes données sont les points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ alignés, et un point $\text{[math]}$ que tu de donnes en dehors de cette droite.

Tu choisis un vecteur $\text{[math]}$ , tu peux facilement définir un point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ : il y a existence et unicité de $\text{[math]}$ .

Le construire, c'est donner un moyen de le placer géométriquement en fonction des données.

Pour l'addition : il faut construire $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , c'est-à-dire tel que $\text{[math]}$ , ou encore que $\text{[math]}$ soit un parallélogramme.

Comme ce parallélogramme est aplati, il n'est pas facile à construire.
On construit donc un point intermédiaire $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , ce qui nécessite la construction de deux parallélogrammes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non aplatis vu le choix du point $\text{[math]}$ , donc constructibles : il suffit de compléter le parallèlogramme en traçant des parallèles aux côtés connus.

Pour la multiplication : tu veux construire le point $\text{[math]}$ défini par $\text{[math]}$ ; comment fais-tu pratiquement, à partir des points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ? Quelles droites, cercles, ... traces-tu pour l'obtenir ?

invite769a1844 · 28/06/2008, 19h02

Envoyé par God's Breath

Pour la multiplication : tu veux construire le point $\text{[math]}$ défini par $\text{[math]}$ ; comment fais-tu pratiquement, à partir des points $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ? Quelles droites, cercles, ... traces-tu pour l'obtenir ?

Si on prend $\text{[math]}$ comme tu l'as construit précédemment, je pense qu'on veut plutôt construire le point $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , on a aussi le rapport $\text{[math]}$ .

On doit peut être pouvoir utiliser la réciproque de Thalès quelque part mais je ne vois pas où (enfin dans quel triangle) étant donné qu'ils manquent les droites parallèles qui figurent dans l'énoncé de Thalès.

En géométrie affine, il n'y a pas de notion d'angle et de distance, peut-on considérer tout de même les cercles?

**God's Breath** · 28/06/2008, 20h02

Bonjour rhomuald

Envoyé par rhomuald

On doit peut être pouvoir utiliser la réciproque de Thalès quelque part mais je ne vois pas où (enfin dans quel triangle) étant donné qu'ils manquent les droites parallèles qui figurent dans l'énoncé de Thalès.

C'est bien là qu'est le problème de construction : tracer les parallèles "manquantes" ; je joins une petite figure pour t'aider.

Envoyé par rhomuald

En géométrie affine, il n'y a pas de notion d'angle et de distance, peut-on considérer tout de même les cercles?

Non, on ne peut considérer que des coniques, définies par une équation du second degré, c'est-à-dire une forme quadratique affine, mais pas de cercle, puisque pas de distance.

invite769a1844 · 28/06/2008, 20h49

Bon c'est bon j'ai trouvé

J'appelle $\text{[math]}$ la droite qui passe par $\text{[math]}$ et par $\text{[math]}$ , j'appelle $\text{[math]}$ .

Je construis $\text{[math]}$ comme le point d'intersection de la droite $\text{[math]}$ et de la parallèle à $\text{[math]}$ passant par $\text{[math]}$ .
D'après le théorème de Thalès j'ai bien $\text{[math]}$ (vu que $\text{[math]}$ ).

Je construis ensuite le point $\text{[math]}$ comme le point d'intersection de la droite $\text{[math]}$ et de la parallèle à $\text{[math]}$ passant par $\text{[math]}$ .

Et par Thalès j'ai bien $\text{[math]}$ .

**God's Breath** · 28/06/2008, 21h08

Envoyé par rhomuald

Bon c'est bon j'ai trouvé

-

Oui, tout simplement.

invite769a1844 · 29/06/2008, 01h01

Envoyé par God's Breath

Oui, tout simplement.

ok, une petite coquille mais par $\text{[math]}$ , je désignais bien entendu la droite qui passe par $\text{[math]}$ et par $\text{[math]}$ .

J'ai bien reçu ton MP, merci pour tous ces tuyaux, je vais creuser ça et essayer d'exploiter en particulier tes petites figures pour pouvoir répondre à la question suivante

Je refais signe un peu plus tard dans la semaine, je vais me mettre au vert quelques temps

Sinon je ne comprend pas trop en quoi ce théorème est fondamental. J'ai déjà eu l'occasion de l'utiliser une fois pour montrer qu'une isométrie affine du plan est bijective,
mais c'est tout en fait et je n'ai pas trouvé d'applications

invite769a1844 · 01/07/2008, 12h59

ok, bon finalement je m'en suis sorti pour la suite grâce à tes indications de procéder par analyse/synthèse,
il me reste un dernier point, je ne trouve pas de contre-exemple pour montrer que l'hypothèse ( $\text{[math]}$ est bijective) est nécessaire (question i ).

**God's Breath** · 01/07/2008, 13h44

Envoyé par rhomuald

ok, bon finalement je m'en suis sorti pour la suite grâce à tes indications de procéder par analyse/synthèse,
il me reste un dernier point, je ne trouve pas de contre-exemple pour montrer que l'hypothèse ( $\text{[math]}$ est bijective) est nécessaire (question i ).

Soient $\text{[math]}$ un point de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux points distincts de $\text{[math]}$ . Que penses-tu de l'application $\text{[math]}$ définie de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ ?

Il faut étudier soigneusement où tu t'es servi de la bijectivité dans la démonstration.

invite769a1844 · 01/07/2008, 19h17

ah ok,

cette application n'est clairement pas affine (car l'image de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ n'est pas un s.e.a. de $\text{[math]}$ ) mais envoie cependant trois points alignés sur trois points alignés.

On se sert de la bijectivité pour montrer dans b) que la préimage d'un hyperplan de $\text{[math]}$ est de dimension strictement inférieure à celle de $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas le cas pour cette application.

Merci gb.

invite769a1844 · 01/07/2008, 19h25

j'oubliais $\text{[math]}$ n'est pas surjective.

invitefb3323ad · 18/02/2011, 19h39

Bonsoir, ce post est ancien mais j'ai exactement ce sujet en devoir maison et j'ai quelques soucis de rédaction et surtout certaines choses que j'ai rédigé dont je ne suis pas sûr.

Par contre Je ne sais pas comment faire la question f.

Dans la question e) :
J'ai défini B' comme
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
J'ai défini B'' comme
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Donc j'ai
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$

Et du coup pour montrer que $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) = $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )+ $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )

J'ai dit que
$\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) + $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )) $\text{[math]}$

Et donc c'est bon, mais je suis pas sûr que ma deuxième égalité soit rentable.

invitefb3323ad · 20/02/2011, 18h44

Personne ne peut me dre si ma réponse est bonne ou pas ?

PS je voulais pas dire rentable mais plutôt si j'avais le droit de l'écrire.

théorème fondamental de la géométrie affine

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Re : théorème fondamental de la géométrie affine

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