définitions

[invite1309167c]

Bonjour à tous,

Je souhaiterais avoir une définition simple et clair de ces 3 mots :
injectif, bijectif, surjectif pour comprendre ce genre d'ennoncé :
Par ex :
f : A -> B est-elle bijective ?

Je vous en prie, j'ai un niveau en mathématiques qui est assez faible, je fais de la remise à niveau (c'est pas facile), je vous serais donc trés reconaissant de vous mettre à ma portée en employant des termes pas trop savants

J'ai eu beau regarder dans mon dictionnaire des mathématiques et chercher sur internet, je n'arrive pas à comprendre l'emploi de ces mots dans certains contextes (par ex dans l'étude des ensembles)

J'espère que je vais pas passer pour un con, hihi !
Je vous remercie par avance.
Bonne continuation
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[invite76908ab3]

Soit la fonction y=f(x)
Si :
- une valeur de x donne une et une seule valeur de y -> f est surjective
- une valeur de y donne une et une seule valeur de x -> f est injective

Si les 2 propriétés sont vraies : bijective

ex: y=4x -> si x=2, alors y=8 / si y=4, alors x=1 -> bijective
Mais : y=4x² n'est pas bijective car si y=4, alors x =1 ou -1, elle est juste surjective

[Quinto]

Surjective, injective et bijective n'ont aucun sens sans parler d'ensemble sur lesquelles ces propriétés sont vraies ou non.
y=x² n'est pas surjective sur R par exemple, mais sur R+....

De plus la définition donnée de la surjectivité est fausse:
y=3
pour x donné, la valeur f(x) donnée est unique, comme c'est expliqué, mais pourtant f n'est pas surjective.

Injective de A dans B:
pour x et x' donné et différents, alors f(x) et f(x') sont différents (ie f(x)=f(x') si et seulement si x=x')
injective de A dans B:
pour un y donné dans B, il existe un x dans A tel que y=f(x).
ie, tout element de B est l'image par f d'un élément de A.

bijective de A dans B:
injective+surjective de A dans B.
ie: tout element de B est en relation avec un et un seul élément de A.
Ceci implique que f est bijective si et seulement si f possède un inverse...

[invite8cc9db4e]

On va y arriver petit à petit ! Quinto a fait des fautes de frappe

y=x² n'est pas injective sur R par exemple.

Preuve : x1=2 x2=-2 ==> y(x1)=y(x2) ce qui est contradictoire avec la définition de l'injectivité

Surjectivité : f est surjective si tout élément de B possède au moins un antécédent dans A
ex. de NON-surjectivité A=R, B=R, f(x)=1/x
0 est bien dans B mais tu ne peux pas trouver x1 tel que f(x1)=0

Dis nous ce que tu penses de ces quelques exemples :
1/ A=R+, B=R+, f(x)=sqrt(x)
2/ Trouver A et B tels que f(x)=ln(x) soit bijective sur ces ensembles

Si tu veux montrer cela (ie. sans intuition), ne soit pas surpris si c'est un peu long !

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

Tout d'abord tu as deux ensembles:
l'un de départ noté par exemple E
l'autre d'arrivée noté F
ensuite il y a une fonction de E vers F
je rappelle qu'une fonction est une relation qui à tout élément de E associe zéro ou un élément de F( au plus un ) . Les éléments de E seront les antécèdents et ceux de F les images
Maintenant pour les notions demandées il faut se placer dans F :
--- si un élément de F n' admet aucun antécédent dans E ou bien un seul ( au plus un antécédent)alors la fonction est injective
--- si tout élément de F admet un antécédent ou plusieurs ( au moins un antécédent)la fonction est surjective
-- est la fonction est bijective si tout élément de F admet un et un seul antécédent ( cad elle est à la fois injective et surjective)


A +

[Quinto]

"On va y arriver petit à petit ! Quinto a fait des fautes de frappe "

Ah bon?Où donc??
Mes définitions et exemples semblent corrects...

[Evil.Saien]

Surjective, injective et bijective n'ont aucun sens sans parler d'ensemble sur lesquelles ces propriétés sont vraies ou non.
y=x² n'est pas surjective sur R par exemple, mais sur R+....

Il me semble que ce soit la...
d'apres les def, y=x^2 de R->R est surjective mais pas injective
non ?!

[esboy]

Soit la fonction y=f(x)
Si :
- une valeur de x donne une et une seule valeur de y -> f est surjective
- une valeur de y donne une et une seule valeur de x -> f est injective

Je précise que ce message est faux:
la première définition est celle d'une fonction
la deuxième est celle de la bijectivité
(sous réserve de préciser les ensembles comme le dit Quinto)

[Quinto]

Il me semble que ce soit la...
d'apres les def, y=x^2 de R->R est surjective mais pas injective
non ?!

Salut,
non, elle n'est pas surjective, -1 n'a pas d'antécédent.
J'ai précisé, que le domaine d'arrivé devait au plus, justement, etre R+ pour qu'elle soit surjective.

Enfin n'en faisons pas un fromage.

[invite1309167c]

Je vous remercie , je devrais m'en sortir maintenant

[invite8cc9db4e]

Enfin n'en faisons pas un fromage.

N'en faisons pas un fromage mais je précise tout de même Tu as marqué 2 fois "injective de A dans B" ce que le lecteur averti aura corrigé par surjective le cas échéant.
Juste une faute de frappe, pas de compréhension
Bonne soirée !

[Quinto]

Ah, a ce niveau la en effet je n'avais pas relu.
Mea culpa