Arithmétique

[Gwyddon]

Je te comprend

Tiens une question : pourquoi ne pas utiliser une simple implication dans l'axiome 3 de PreA, en arguant du fait que s est par définition une application ?

J'en suis à la section 1, arithmétique de Presburger... Je continue !
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[Médiat]

Tiens une question : pourquoi ne pas utiliser une simple implication dans l'axiome 3 de PreA, en arguant du fait que s est par définition une application ?

Tu as parfaitement raison l'implication de droite à gauche est inutile (mais pas fausse), puisque garantie par le fait que s est une application ; j'ai pris ici la forme habituelle de cet axiome (je l'ai pratiquement toujours vu ainsi (pas sur wikipedia)), le plus important est que cela ne soit pas faux, car en tout état de cause lorsque l'on va intérpréter s dans un modèle, il va falloir vérifier que ce que l'on a défini est bien une application et donc vérifier, entre autres, l'implication de droite à gauche.

[Gwyddon]

Me revoilii !

J'ai étudié hier le chapitre Presburger. Voici mes remarques :

_ tu parles de "symbole de type 1" ; le souci, c'est que tu ne définis pas ce que signifie cette phrase Bon du coup on comprend a posteriori que tu te réfères à la distinction importante, mais à ce moment-là il serait bon que tu écrives, par exemple : 'Par la suite on parlera de symbole de types 1 et 2 pour se référer à cette distinction'. Comme ça, c'est tout de suite clair et net

_ le théorème 11 est excellentissime, et je pense qu'il est bon que le lecteur démontre au moins T1, T2, T3 (pour voir l'enchaînement des démos et voir que T1,T2 sert à T3), T6 (démontrer l'associativité, c'est sympa), ainsi qu'un Ti associé au symbole inégalité.

_ même remarque que mmy, je ne suis pas certain que tous les lecteurs du niveau que tu vises sachent ce qu'est un monoïde (notion qui a plus ou moins disparu des programmes)

_ quand tu rajoutes le symbole de congruence et défini un nouveau langage, je pense qu'il est crucial de faire remarquer le lecteur que tu ne changes absolument pas de théorie, en vertu du point 1 de ta remarque importante. Ainsi, il se rend compte que tu n'as pas besoin de redéfinir les axiomes.

_ l'exercice 13 est très amusant, il permet de bien réfléchir à la distinction entre symbole atomique et symbole qui apparaît "accidentellement" entre un élément du langage et une notation

_ peut-être préciser de façon claire ce qu'est l'arité

_ Tout ce qui concerne les paragraphes entre le théorème 12 et le théorème 13 est à mettre avant le théorème 12, pour plus de clarté : en effet dans l'énoncé du théorème 12 tu utilises des termes que tu ne définis qu'après, je pense qu'il vaut bien mieux les définir avant.

_ enfin dans la démo du théorème 12, il faut inverser la ligne "petit lemme" avec la formule à démontrer, histoire que le lecteur ne soit pas perdu (parce que tu dis, phrase précédente, "à savoir : ", et tu sautes au lemme, du coup le lecteur se demande ce qu'il y a à savoir )

Voilà voilà

[Médiat]

Salut

_ tu parles de "symbole de type 1" ; le souci, c'est que tu ne définis pas ce que signifie cette phrase Bon du coup on comprend a posteriori que tu te réfères à la distinction importante, mais à ce moment-là il serait bon que tu écrives, par exemple : 'Par la suite on parlera de symbole de types 1 et 2 pour se référer à cette distinction'. Comme ça, c'est tout de suite clair et net

OK

_ même remarque que mmy, je ne suis pas certain que tous les lecteurs du niveau que tu vises sachent ce qu'est un monoïde (notion qui a plus ou moins disparu des programmes)

C'est sur une suggestion de mmy que j'ai ajouté le nom des propriétés correspondant à certains théorèmes, mais j'aurais dû tourner la phrase dans l'autre sens :

Les modèles de l'arithmétique de Presburger sont des monoïdes ( et montrent que 0 est un élément neutre pour +, montre que + est associative) commutatifs () réguliers ().

et montrent que 0 est un élément neutre pour +, montre que + est associative, montre que + est commutative et montre que + est régulière (ces propriétés font des modèles de Presburger, des monoïdes commutatifs et réguliers).

_ quand tu rajoutes le symbole de congruence et défini un nouveau langage, je pense qu'il est crucial de faire remarquer le lecteur que tu ne changes absolument pas de théorie, en vertu du point 1 de ta remarque importante. Ainsi, il se rend compte que tu n'as pas besoin de redéfinir les axiomes.

OK

_ peut-être préciser de façon claire ce qu'est l'arité

OK

_ Tout ce qui concerne les paragraphes entre le théorème 12 et le théorème 13 est à mettre avant le théorème 12, pour plus de clarté : en effet dans l'énoncé du théorème 12 tu utilises des termes que tu ne définis qu'après, je pense qu'il vaut bien mieux les définir avant.

C'est vrai que dans cet ordre là ce n'est pas très clair, je vais y remédier.

_ enfin dans la démo du théorème 12, il faut inverser la ligne "petit lemme" avec la formule à démontrer, histoire que le lecteur ne soit pas perdu (parce que tu dis, phrase précédente, "à savoir : ", et tu sautes au lemme, du coup le lecteur se demande ce qu'il y a à savoir )

OK (Un lemme ajouté au dernier moment pour plus de clarté ).

Pour la suite, je vais ajouter une définition pour la notation

J'ai, enfin, le sentiment de ne pas avoir perdu mon temps en postant ce document. Je me suis beaucoup amusé à rechercher et à lire ou relire, des documents sur ce sujet, la rédaction, elle, n'a pas été une perte de temps, au contraire.

[Gwyddon]

Hi !

J'ai commencé Peano, ça devient un peu touffu mais toujours aussi intéressant

Deux points :

_ il faut absolument définir ce qu'est un entier standard, un entier non-standard (par exemple parler des axiomes de l'analyse non-standard), sinon tu perds le lecteur.

_ rappeler les axiomes de l'ordre utilisé, ça peut être bien

_ dans le théorème 20, je n'ai pas compris ce que signifie PA à la fin de la démo (je pense que le A est en trop non ?)

[Médiat]

Hello !

Deux points :

Alors qu'il y en a trois : c'est pas gagné l'arithmétique

_ il faut absolument définir ce qu'est un entier standard, un entier non-standard (par exemple parler des axiomes de l'analyse non-standard), sinon tu perds le lecteur.

Si je voulais faire du mauvais esprit, je citerais le corollaire du théorème 19 : L'ensemble de entiers standards n'est pas définissable .

Je vais ajouter (il faut que je trouve où) une définition du modèle standard (par exemple le monoïde libre à un générateur et quelques autres exemples) ; par contre je crois que la présentation de l'analyse non standard serait un gros changement de sujet.

_ rappeler les axiomes de l'ordre utilisé, ça peut être bien

OK

_ dans le théorème 20, je n'ai pas compris ce que signifie PA à la fin de la démo (je pense que le A est en trop non ?)

Arrgh vieille habitude PA = Peano Arithmetic, je vais remplacer PA par Peano.

[Gwyddon]

Hello !
Alors qu'il y en a trois : c'est pas gagné l'arithmétique

Il y en a eu un nouveau en cours de route

Je vais ajouter (il faut que je trouve où) une définition du modèle standard (par exemple le monoïde libre à un générateur et quelques autres exemples) ; par contre je crois que la présentation de l'analyse non standard serait un gros changement de sujet.

Oui tu as raison, mais peut-être alors faire une petite intro gentille.

Arrgh vieille habitude PA = Peano Arithmetic, je vais remplacer PA par Peano.

Ahhhh tiens du coup c'est plus clair

[Gwyddon]

Hello,

La page 13 me pose un gros problème, qui me fait douter de la compréhension de ce qui précédait.

Jusqu'ici, était pour moi un nombre (qui pouvait éventuellement être transfini) et signifiait le produit cartésien -fois de l'ensemble des relatifs (ce que tu as rappelé dans cette discussion plus haut, me confortant dans cette interprétation), or d'un coup tu le fais passer au statut d'ensemble ! Je trouve que ton texte perds en clarté et devient franchement difficile à comprendre du coup..

Si tu pouvais m'éclairer

De manière générale, je trouve qu'à partir du chapitre sur Péano, tu oublies tes lecteurs et prend comme acquis des choses qui ne le sont pas

[Médiat]

Salut,

Jusqu'ici, était pour moi un nombre (qui pouvait éventuellement être transfini) et signifiait le produit cartésien -fois de l'ensemble des relatifs (ce que tu as rappelé dans cette discussion plus haut, me confortant dans cette interprétation), or d'un coup tu le fais passer au statut d'ensemble ! Je trouve que ton texte perds en clarté et devient franchement difficile à comprendre du coup.

J'ai bien parlé du produit cartésien , pas du produit cartésien -fois de par lui-même (ce n'est pas )

Sinon, un nombre est un ensemble, donc pas de problème (je reconnais, et c'est le point faible de ce genre de document de synthèse, que certaines choses me sont naturelles alors qu'elles ne devraient pas). A la page 3, lors de l'introduction de , j'ai bien écrit que était de cardinal quelconque, pas que avait une structure plutôt qu'une autre (dans les chapitres 0 et 1 on peut se contenter de voir comme un ordinal, mais ce n'est pas obligatoire (et faux dans le chapitre 3, puisque le de ce chapitre n'est pas un bon ordre (théorème 25)).

De manière générale, je trouve qu'à partir du chapitre sur Péano, tu oublies tes lecteurs et prend comme acquis des choses qui ne le sont pas

Ce chapitre est incontestablement le plus difficile, n'hésite pas poser toutes les questions que tu veux, et surtout à m'indiquer (sans que cela te fasse perdre trop de temps) les points à éclaircir ou à développer.

Merci encore de ta lecture intelligente.

Médiat

[Gwyddon]

Okkk ! Plus clair alors. Mais dans ce cas, pour éviter tout conflit de notation, écris le x pour le produit cartésien plus que le .


Du coup, je suppose que ton est un ensemble quelconque, pourvu qu'il respecte les conditions prévues sur son cardinal. Je me trompe ?

Je vais me replonger dans tout ça.

[Médiat]

Okkk ! Plus clair alors. Mais dans ce cas, pour éviter tout conflit de notation, écris le x pour le produit cartésien plus que le .

Je vais voir ce que je peux faire, mais c'est une évolution majeure, il va y avoir un avenant au contrat (zut, voila que je mélange travail et plaisir) .

Du coup, je suppose que ton est un ensemble quelconque, pourvu qu'il respecte les conditions prévues sur son cardinal. Je me trompe ?

Absolument, et dans les chapitre 0 et 1, on ne se pose pas de question sur cet ensemble à part son cardinal.

Dans le chapitre 2, on ne suppose rien, au départ, sur cet ensemble (en plus du cardinal), mais on montre qu'on peut le munir "naturellement" d'une relation d'ordre qui le rend isomorphe à .

PS : le paragraphe ci-dessus, devrait bien montrer la difficulté qu'il y a à parler, hors contexte, d'un ensemble sans préciser les structures dont on le munit.

[Gwyddon]

Coucou,

Bon j'ai achevé (plus ou moins) l'arithmétique de Péano. C'est dur, mais ça vaut le détour, notamment l'argument de Cantor pour Gödel c'est vraiment excellent

Dans "arithmétique du 2nd ordre" tu fais des fautes typographiques (notamment le manque d'espace dans la définition de "parties d'un ensemble", puis plus loin avec x | y, il y a des espaces manquants).

"Arithmétique du 2nd ordre" est très compréhensible, j'aime beaucoup aussi. Bon bien sûr je ne me suis pas encore attardé sur les exercices mais vu de loin ils ne me paraissent pas horriblement compliqués

On va dire que j'ai pratiquement terminé la relecture de ton fichier, qui mérite une bonne place à mon goût dans la biblio de maths de FSG

[Médiat]

Dans "arithmétique du 2nd ordre" tu fais des fautes typographiques (notamment le manque d'espace dans la définition de "parties d'un ensemble", puis plus loin avec x | y, il y a des espaces manquants).

Tu veux dire dans la partie 5 "Aller plus loin" ? Je corrige

"Arithmétique du 2nd ordre" est très compréhensible, j'aime beaucoup aussi. Bon bien sûr je ne me suis pas encore attardé sur les exercices mais vu de loin ils ne me paraissent pas horriblement compliqués

Dans la partie 4, il n'y a qu'un seul exercice et il est assez facile, mais il permet de mieux comprendre pourquoi le schéma de récurrence ne marche pas avec "n'importe quoi".
Dans la partie 5, il y a des passages pas simples, mais des exercices très "fun" .

On va dire que j'ai pratiquement terminé la relecture de ton fichier, qui mérite une bonne place à mon goût dans la biblio de maths de FSG

C'est gentil, mais je n'ai pas le sentiment que cela ait intéressé grand-monde

Re reposterai la version corrigée quand tu auras tout lu, merci encore.

[Médiat]

J'ai enfin trouvé le temps de porter les corrections (l'honnêteté voudrait que j'écrive plutôt : j'ai enfin pris le temps de porter les corrections).

Je tiens à remercier l'ensemble des personnes ayant fait des remarques et tout particulièrement Gwyddon dont les questions pertinentes et les critiques constructives m'ont permis d'améliorer sensiblement ce petit document.

J'en profite pour rappeler les "pré-requis" (quasi inexistant, ce ne sont pas des connaissances qui sont nécessaires à la compréhension, mais une petite habitude de la manipulation des formules mathématiques) :

Les sections 0 et 1 ne demandent vraiment pas de connaissances préalables. La section 2 est un peu plus compliquée à cause de l'introduction de la notion de complexité d'une formule. La section 3 est encore un peu plus compliquée (à cause du théorème d'incomplétude de Gödel). La section 4 est simple (pas plus compliquée que la 2). La section 5 est très hétérogène du point de vue du niveau, chacun peut y faire son marché ...

[Médiat]

Ooops, en me relisant pour la n^ième fois, je viens de voir quelques fautes de frappes généralement pas très graves sauf une :

Page 6 il manque un bout à la définition de théorie -catégorique :

Une théorie T est dîte -catégorique si elle ne possède qu'un seul modèle de cardinal à isomorphisme près.

Pour les moins graves (car la correction est évidente) :
Page 5 en dessous de l'exercice 4, il faut lire "de cardinal p > 0"
Page 6 Exercice 8 Montrer que [...]

Il y a aussi quelques retour-charriots manquants par-ci par-là.

[invité576543]

Il y en a bien d'autres (mais peut-être ne les cites-tu pas parce que la correction est évidente?), mais je ne trouve pas de solution "économique" (pour moi) pour te les transférer.

Si l'existence de typo te gêne, faut confier la relecture serrée à quelqu'un d'autre que toi-même.

(Je parle d'expérience, mon boulot c'est -ou c'était- l'écriture de normes internationales...)

Cordialement,

[Arkangelsk]

Bonjour,

Je trouve que ce que tu as rédigé est fort intéressant, malheureusement, je n'ai pas vraiment le temps de m'y plonger ... J'ai cependant lu l'ensemble en diagonale et je me permettrai de faire part de quelques remarques de forme uniquement.

- Ponctuation : il manque des signes par endroits, comme page 13, après "libre" (un point), page 7, après "quantificateurs" ou page 17, après "autrement dit" (une virgule), virgules après certains "donc" (discutable) ... Il me semble qu'on peut améliorer la syntaxe dans son ensemble.
- Page 12 : "Raison de mon ire". Il me semble que ire est de genre féminin ...
- Page 15 : "Signes logique"
- Page 20 : Arithmétique de Kalmar "Que la multiplication et le schéma d'induction est restreint aux formule élémentairement récursive"
- Page 21 : Tu écris : "Et plus le schéma d'induction". Cela me paraît maladroit.

J'ajouterai deux petites questions :

Quel est le niveau nécessaire pour lire ce que tu as réalisé ? A quel public est-il destiné ?

Merci

[God's Breath]

- Page 12 : "Raison de mon ire". Il me semble que ire est de genre féminin ...

Je ne comprends pas : on ne peut pas dire raison de ma ire.

[Médiat]

Bonjour,

Merci de tes remarques que je prendrai en compte (sauf pour mon ire ).

J'ajouterai deux petites questions :
Quel est le niveau nécessaire pour lire ce que tu as réalisé ? A quel public est-il destiné ?

Pour le niveau :

Les sections 0 et 1 ne demandent vraiment pas de connaissances préalables. La section 2 est un peu plus compliquée à cause de l'introduction de la notion de complexité d'une formule. La section 3 est encore un peu plus compliquée (à cause du théorème d'incomplétude de Gödel). La section 4 est simple (pas plus compliquée que la 2). La section 5 est très hétérogène du point de vue du niveau, chacun peut y faire son marché ...

Le public : tous ceux qui aimerait en savoir un peu plus sur l'arithmétique moderne (je veux dire du 20^ième siècle), et/ou qui veulent cerner (ou en tout cas qui veulent en savoir un peu plus sur) le problème levé par Gödel et son théorème d'incomplétude.

[Arkangelsk]

Merci pour tes réponses Médiat.

Je ne comprends pas : on ne peut pas dire raison de ma ire.

C'est ce que je me disais : "ma ire" sonne très mal. Pourtant, je viens de vérifier dans mon dico, ire est bien de genre féminin. Donc, "mon ire" ... cela me paraît suspect.

PS : Il est assez commun de dire "l'ire", comme ça, on ne se mouille pas !

[invité576543]

C'est ce que je me disais : "ma ire" sonne très mal. Pourtant, je viens de vérifier dans mon dico, ire est bien de genre féminin. Donc, "mon ire" ... cela me paraît suspect.

C'est hors sujet, mais le français utilise "mon" au féminin devant une voyelle (mon image, mon intelligence, mon amitié, etc.)

Cordialement,

[Arkangelsk]

C'est hors sujet, mais le français utilise "mon" au féminin devant une voyelle (mon image, mon intelligence, mon amitié, etc.)

Cordialement,

OK. Je n'y avais pas pensé. Merci !

[Gwyddon]

Pour le niveau :

Bon bac+1 minimum quand même

[Médiat]

Bon bac+1 minimum quand même

C'est vrai que Mathématiques du supérieur commence à bac + 0, et que bac + 1 est recommandé (mais mon fils à 12 ans ).

[prgasp77]

mais mon fils à 12 ans

Et il ne sait toujours pas comment on fait les bébés

Concernant le document, j'aime beaucoup la manière dont les choses sont présentées, l'introduction des concepts au compte-goutte. Mais de formation ingénieure, il m'a fallu jongler d'article wikipedia à un autre pour suivre le cours de certaines phrases ou connaitre la définition de certains opérateurs. Mais c'est néanmoins compréhensible (du moins jusqu'au point sur lequel je me suis arrêté pour aujourd'hui).

Merci Médiat.

Au passage, j'ai réveillé un vieux topic Désolé.

[Médiat]

Salut prgasp77,

Au passage, j'ai réveillé un vieux topic Désolé.

Ressuscité, serait plus approprié, et je t'en remercie.

Si des point méritent d'être éclaircis n'hésitent pas à me solliciter ...

[Turgon]

Bonjour.

J'ai trouvé très intéressant ce que j'ai lu dans ce document (essentiellement le début, et je n'ai pas encore essayé un exercice ^^).

J'ai deux questions (sans doute assez naïves car tout cela est plutôt frais pour moi) à propos des théories PréA et PréA':

l'axiome A2 se déduit-t-il du principe de récurrence (schéma d'induction dans le texte) ?

Quel effet sur le système à le remplacement de A2 par: Le successeur de tout entier est différent de cet entier ?

(une telle axiomatique est-t-elle, pardonnez moi le terme "isomorphe" à PréA? Désolé de ne pouvoir écrire la formule aussi joliment que vous car je ne connais pas trop les logiciels de langage mathématiques).

Merci pour le document et merci d'avance.

[Médiat]

Bonjour

l'axiome A2 se déduit-t-il du principe de récurrence (schéma d'induction dans le texte) ?

Non, cela peut se voir avec l'exemple suivant :
dans on pose s(n) = n + 2 ( donc 0 et 1 n'ont pas de prédécesseur. soit la formule , il est facile de vérifier que est "vraie" et que , en appliquant le schéma d'induction on en déduit que tous les nombres entiers sont pairs .

Quel effet sur le système à le remplacement de A2 par: Le successeur de tout entier est différent de cet entier ?

Le contre-exemple précédent marche aussi ici.

une telle axiomatique est-t-elle, pardonnez moi le terme "isomorphe" à PréA?

Pour dire que deux axiomatiques sont "identiques" on dit plutôt que leurs théorie sont élémentairement équivalentes.

Désolé de ne pouvoir écrire la formule aussi joliment que vous car je ne connais pas trop les logiciels de langage mathématiques).

C'est du latex, disponible partiellement sur FSG

Merci pour le document et merci d'avance.

C'est un vrai plaisir pour moi que de constater que je n'ai pas perdu mon temps . et cette n^ième relecture m'a permis de trouver encore des fautes de frappes .

[Turgon]

PS: malgré sa longueur, ce message n'est qu'un constat affolé, étant donné que ce n'est pas le cas habituellement, des doutes que j'ai pu ressentir en lisant votre réponse.

Votre exemple m'a fais me poser un grand nombre de question (je me suis rendu compte que beaucoup de chose m'étaient obscures). Je vous en fait part en faisant le grand saut dans le langage Latex (ne vous étonnez d'aucune aberration ^^). J'expose d'abord le raisonnement que j'avais cru mener puis ce que j'ai mal compris dans l'exemple que vous donner pour m'aider (incompréhension qui me le fait apparaitre comme étrange):
________________

Concernant A2, ma questions venait du fait que j'avais cru correctement opérer la démonstration suivante:

 Cliquez pour afficher

On considère le langage formé par (ou Marcel ou Robert) et l'application successeur (comme on a supposé que est une application, tout entier a un successeur unique).
On adjoint à ce langage les axiomes A1, l'axiome A3, et le schéma d'induction (mais pas A2):

Soit la formule:
(l'axiome A2 pour )

est vraie (ou plutôt démontrable) car .

Soit un entier (je devrais peut être dire un élément du langage)

On suppose démontrée, démontrons .
est démontrée si et seulement si ou si est successeur d'un entier.

Or n'est pas égal d'après A1. Par contre est bien le successeur de l'entier , donc .

Par le schéma d'induction, est vraie pour tout élément du langage (tout entier).

_________________________

Quand à la formule que je proposais, elle se démontre aussi par induction car c'est pour la rendre décidable (et beaucoup d'autres bien sur) que vous introduisez le schéma d'induction. Je crois d'ailleurs constater que A2 ne sert pas dans la démonstration:

 Cliquez pour afficher

Si on garde le langage et les axiomes précédents (cf première démo.), soit alors la formule:

Par A1, est démontrée.

On suppose alors pour un entier que est démontrée.
est alors démontré si et seulement si

Or si cette formule était vraie, d'après A3, serait égal à , ce qui contredirait l'hypothèse de récurrence. On en déduis par l'absurde que .

D'après le schéma d'induction, est donc vraie pour tout élément du langage.

_________________________

Concernant l'exemple que vous donnez, je vais essayer de détailler ce que je crois avoir compris et ce que je sûr de ne pas avoir compris dans votre démarche.

Dans vous définissez l'entier naturel 0 comme l'élément (ou Marcel ou Gérard) du langage, et l'application qui a n associe n+2 comme l'application du langage.
Deux possiblilités:
-1(celle qui me parait un peu étrange) L'ensemble dont vous parlez est celui des éléments du langage dans lequel vous définissez une autre fonction successeur à l'aide d'une addition qui n'est pas, à l'origine, défini dans le langage (bien sur on pourrait la définir, mais cela me semble tarabiscoté).

-2(Celle qui me parait plus plausible): Si je n'ai pas trop mal compris, vous exposez ce que vous appelez un modèle (j'ai très peur d'employer ce mot vu le peu de connaissance que j'ai de cette notion) du langage , ou tout du moins une interprétation de ses règles dans l'ensemble habituel.

Je vais supposer 2 par la suite ^^.
Les axiomes A1, A3 et A2 (qu'on l'ai pris comme axiome ou démontré par induction comme je l'ai proposé) sont "vrais" dans ce modèle (j'ai quelque doute sur l'induction étant donné qu'on "saute" un entier naturel à chaque succession et que donc l'induction par s ne montre pas une propriété pour tout les entier naturels, mais passons).

Vous indiquez ensuite que 0 et 1 n'ont pas de prédécesseur par s. Ce qui ne m'est pas clair c'est tout d'abord le fait d'être prédécesseur : au sens de la fonction successeur dans ou de la fonction dans le langage?
Définissons le fait d'être prédécesseur dans le langage de la façons suivante:

 Cliquez pour afficher

Dans le langage , on définit la relation comme suit:
; se lisant "n précède à m".

On constate que la correspondance définie une application sur tout élément non nul du langage, ceci par A1 (pour dire que n'existe pas dans le langage) par A3 (pour prouver l'unicité du prédécesseur) et par A2 (pour prouver l'existence du prédécesseur pour tout élément du langage différent de ). On peut donc pour tout élément non nul définir son prédécesseur comme l'unique élément vérifiant:

En supposant que cette définition soit correcte (hypothèse de récurrence: Médiat est d'accord avec ce que je dis ^^) alors j'ai l'impression de pouvoir interpréter 0 et 1 de deux manières
par rapport à l'interprétation dans munis de l'application: dans :

 Cliquez pour afficher

Soit 0 et 1 désigne les entiers naturels 0 et 1 (éléments de ), dans ce cas, 0 n'a effectivement pas de prédécesseur. Quand à 1, n'étant pas obtenu à partir de 0 en ajoutant 2 (ce que je pense on peut montrer par induction sur l'énoncé: =1 ou 1 est le 1 des entiers naturels et non ), il n'est pas un élément du langage (dans cette interprétation). On ne peut donc parler de son prédécesseur au sens de .

Soit 0 et 1 désigne le et le du langage ( et ) correspondants dans l'interprétation à 0 et 2 de ; alors n'a pas de prédécesseur, mais == en a un: par définition, bien que, en effet, aucun élément du langage ne lui précède via la fonction prédécesseur dans (grossièrement n-1 pour les entiers non-nuls).

Ais-je donc eu raison (sous les hypothèses peut être stupides que j'ai fait sur votre exemple), de distinguer le fait d'être prédécesseur au sens de et au sens du langage (si j'ai correctement défini cette fonction dans le langage)?
_________________________

Je poursuit ma tentative d'interprétation sur la récurrence que vous proposez. La proposition pour un élément du du langage est vrai si il existe un élément (cette fois-ci dans ) vérifiant par la multiplication habituelle dans (vu que aucune multiplication n'est définie dans le langage):
Par un raisonnement par induction, vous montrez que la propriété est vrai pour tout élément de interprété dans (c'est à dire si je ne trompe pas, pour les entiers naturels obtenus à partir de 0 par ajout successifs de l'entier naturel 2).

Vous en concluez ensuite que tout entier est pair et la j'ai a nouveau le même genre de problème que plus haut:

 Cliquez pour afficher

La parité cité est-elle celle au sens de la multiplication conforme à la fonction successeur dans ou bien dans le langage? Je dis conforme ici au sens que et pour tout entiers n et m, en effet, la multiplication usuelle sur n'est pas conforme à comme vous la définissez dans l'exemple (elle vérifie par exemple pour c'est-à-dire le 2 de )
Si on tentais de définir une multiplication conforme au sens de , je crois que ça ressemblerait à quelque chose comme: (la division étant celle habituelle) à condition que l'addition soit aussi conforme pour bien sûr (bon je vais arrêter mes délires pseudo-algébrique là).
Quoi qu'il en soit si on parle de la parité au sens d'une éventuelle loi , le raisonnement que vous faite ne montre pas la parité au sens de mais au sens de . En fait, on en revient (enfin moi j'y revient mais bon...) au doutes que j'ai exprimé sur l'induction dans l'interprétation: elle semble se fait en fait précisément sur l'ensemble des entiers pairs, vu qu'on part de 0 auquel on succède en ajoutant 2 au sens des entiers naturels.

Je ne saurais dire si je nage en plein délire (un peu ou beaucoup), ou si je dis vrai mais en comprenant mal les notions ou si vous fîtes peut-être une légère toute petite minuscule erreur (ce qui arrive au plus grands) dans l'affirmation que le principe d'induction décrivait tout l'ensemble par la fonction

Désolé de ce rebutant pavé et merci encore de mettre ce très bon document à la disposition de tous.

[Médiat]

PS: malgré sa longueur, ce message n'est qu'un constat affolé, étant donné que ce n'est pas le cas habituellement, des doutes que j'ai pu ressentir en lisant votre réponse.

Pas de problème.

Votre exemple m'a fais me poser un grand nombre de question

Et je le regrette, cet exemple étant mauvais, puisque je suis parti de PréA qui a absolument besoin de cet axiome A2 (pour les démonstrations sur les composantes connexes), sans me rendre compte que l'adjonction du schéma d'induction le rend inutile, vous aviez raison.

Concernant A2, ma questions venait du fait que j'avais cru correctement opérer la démonstration suivante:

Je ne vois pas de défaut dans votre démonstration.
Quelques remarques néanmoins, quand vous écrivez
"Soit un entier (je devrais peut être dire un élément du langage)", en fait n est une variable (parler d'entier est dangereux : est-ce que les éléments des modèles non standards peuvent être appelés des entiers ?), comme vous précisez que vous pourriez dire "élément du langage" et que c'est le cas d'une variable, cette phrase est acceptable, mais quand vous écrivez "vraie pour tout élément du langage (tout entier).", je me dis que vous faites quand même une confusion, car la proposition n'est pas "vraie" pour toutes les variables du langage, mais pour toutes les valeurs (interprétations) de cette variable. Que vous ayez senti qu'il y avait un problème à dire pour "soit n un entier" ou "tous les entiers" prouve que vous avez compris beaucoup de choses, et parmi les plus subtiles.

Quand à la formule que je proposais, elle se démontre aussi par induction car c'est pour la rendre décidable (et beaucoup d'autres bien sur) que vous introduisez le schéma d'induction. Je crois d'ailleurs constater que A2 ne sert pas dans la démonstration:

Dans la mesure où A1, A3 + schéma d'induction permettent de démontrer A2, je ne vois pas à quoi peut servir de remplacer cet axiome inutile par un autre (aussi inutile) ; vous aviez quelque chose en tête ?

Concernant l'exemple que vous donnez, je vais essayer de détailler ce que je crois avoir compris et ce que je sûr de ne pas avoir compris dans votre démarche.

Ne perdez pas de temps sur un exemple faux .

Dans vous définissez l'entier naturel 0 comme l'élément (ou Marcel ou Gérard) du langage, et l'application qui a n associe n+2 comme l'application du langage.
Deux possiblilités:
-1(celle qui me parait un peu étrange) L'ensemble dont vous parlez est celui des éléments du langage dans lequel vous définissez une autre fonction successeur à l'aide d'une addition qui n'est pas, à l'origine, défini dans le langage (bien sur on pourrait la définir, mais cela me semble tarabiscoté).

-2(Celle qui me parait plus plausible): Si je n'ai pas trop mal compris, vous exposez ce que vous appelez un modèle (j'ai très peur d'employer ce mot vu le peu de connaissance que j'ai de cette notion) du langage , ou tout du moins une interprétation de ses règles dans l'ensemble habituel.

C'est bien la deuxième interprétaion qui est la bonne, je parlais bien du modèle , appelé modèle standard de l'arithmétique et dont le but de l'axiomatique de Peano est de donner une axiomatique qui permet de dire suffisamment de choses à son sujet.

Vous indiquez ensuite que 0 et 1 n'ont pas de prédécesseur par s. Ce qui ne m'est pas clair c'est tout d'abord le fait d'être prédécesseur : au sens de la fonction successeur dans ou de la fonction dans le langage?
Définissons le fait d'être prédécesseur dans le langage de la façons suivante:

Votre définition de prédécesseur est correcte (c'est définissable dans le langage, c'est donc une facilité qui permet d'éviter de répéter à chaque fois "il existe m tel que n=s(m)).

En supposant que cette définition soit correcte (hypothèse de récurrence: Médiat est d'accord avec ce que je dis ^^) alors j'ai l'impression de pouvoir interpréter 0 et 1 de deux manières
par rapport à l'interprétation dans munis de l'application: dans :

Ais-je donc eu raison (sous les hypothèses peut être stupides que j'ai fait sur votre exemple), de distinguer le fait d'être prédécesseur au sens de et au sens du langage (si j'ai correctement défini cette fonction dans le langage)?

Oui, vous avez parfaitement raison de distinguer ces deux cas.

Pour prendre un exemple qui ne soit pas faussé, prenons le langage et la théorie A1, A3 + "Le successeur de tout entier est différent de cet entier", alors , où est l'interprétation de dans le modèle, et je continuerai à utiliser cette notation.
Dans le langage, je peux définir 1 = s(0), 2 = s(1), etc.
Si, dans le modèle on définit , et avec cette interprétation, on obtient que qu'il faut lire : l'interprétation du symbole 1 du langage, dans le modèle est le 2 du modèle. Vous comprenez sans doute pourquoi la notation avec des indices pour préciser de quel modèle on parle est souvent abandonnée (au risque de confusion, il est vrai).

Vous en concluez ensuite que tout entier est pair et la j'ai a nouveau le même genre de problème que plus haut

Il s'agirait bien de la parité dans le modèle, si mon exemple avait été correct .

Désolé de ce rebutant pavé.

Ne soyez pas désolé, et continuez ...