énigme

[inviteea091ca6]

D'après la théorie des Ensembles :

R^R > R, mais

N^N = N

Bizarre, non ?


PS : ^ = puissance
-----

[inviteca3a9be7]

N^N = N

Ah ?


...........................

[Coincoin]

Salut,
Comment tu définis une puissance d'ensemble ? Et c'est quoi ton ordre ?

[invite8f53295a]

Déjà en théorie des ensembles, on a 2^E > E

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

N^N ne me semble pas etre N.
Peut etre R?

Coicoin:
A^B est L'ensemble des fonctions de B vers A.
On le note ainsi car en cardinal fini, le cardinal de cet ensemble est le cardinal de A a la puissance celui de B.
ainsi N^N est l'ensemble des suites entieres.
Pour la relation d'ordre, j'imagine que c'est celle des cardinaux.

[invite51f4efbf]

Pour la relation d'ordre, j'imagine que c'est celle des cardinaux.

C'est ça : l'existence d'une injection.

[Quinto]

C'est ce que je pense aussi, mais l'égalité me troublait...
C'est plus une équipotence...
Sinon R=C ...

[invite51f4efbf]

C'est ce que je pense aussi, mais l'égalité me troublait...
C'est plus une équipotence...
Sinon R=C ...

Ensemblistement c'est vrai

[Quinto]

Si tu supposes que A>B ssi cardA>cardB en effet.
Mais on va pas faire exprès de semer des confusions

[inviteea091ca6]

Donc, pour Quinto, l'ensemble N ^ N pourrait être égal à R (en cardinal).
Dans ce cas, N ^ N est égal à l'ensemble des parties de N, qui s'écrit aussi 2 ^ N.
Donc, N ^ N = 2 ^ N = 10 ^ N ... = n ^ N = R
Voilà qui simplifie le problème des transfinis ...

[Quinto]

j'ai mis "peut etre"
en tout cas une chose est sur, c'est déja pas N^N=N ...

[inviteea091ca6]

On est bien d'accord, Quinto. Le fait est que dans les mathématiques officielles on trouve N = N^2. Le cas de N^N n'est même pas mentionné. Je pense comme toi qu'il est logique de l'apparenter à R.
La théorie des Ensembles est pleine de contradictions. Pourquoi des infinis plus grand que l'infini ? Comme si l'infini n'était pas assez grand ...

[martini_bird]

Salut,

une idée à propos d'une bijection entre N^N et R: si j'ai une suite d'entiers (a0, a1, ...), je forme le nombre 10^-a0+10^-a0-a1+10^-a0-a1-a2, etc.

Exemple pour une suite débutant par a0=2, a1=3, a2= 5: x=10^-2+10^-2-3+10^-2-3-5+...=0,010 010 000 1...

Si je ne m'abuse, on a bien une injection: pour revenir en arrière, il suffit de faire la différence entre les "rangs" de deux "1" consécutifs. Sur l'exemple, le premier 1 est au "deuxième rang", le deuxième au "cinquièmé" et le troisième au "dixième". Du coup, a0=2, a1=5-2=3 et a2=10-5=5.
(Mais l'application n'est bien entendu pas surjective.)

Comme il est clair qu'il existe une injection de R dans N^N, d'après un théorème bien connu , ces ensembles sont équipotents.

Qu'en pensez-vous?

[inviteea091ca6]

Bonjour,

2, 3, 5 ... 8, 13, ... Est-ce de la suite de Fibonacci dont-il s'agit ?
Quoi qu'il en soit, 10^-2 + 10^-2-3 + 10^-2-3-5 + 10^..., cela fait :
10^-2 + 10^-5 + 10^-10 , c'est à dire :
1/100 + 1/100000 + 1/0000000000 ...
C'est une suite convergeante très rapide.
Quels sont les deux ensembles qui pour toi sont équipotents ?
Attention : l'appariement de N^N et de R est une hypothèse (ce n'est mentionné dans aucun manuel).

[inviteea091ca6]

Si ce n'est pas la suite de Fibonacci, tu fabriques un nombre irrationnel de longueur N.
S'agit-il d'apparier chacune des décimales de ce nombre avec la suite d'entiers ?
Dans ce cas, ce sont deux ensembles qui ont le même cardinal : N.
On peut toujours apparier un nombre dénombrable d'irrationnels avec une suite d' entiers, mais jamais l'ensemble des irrationnels.

[martini_bird]

Bonjour,

2, 3, 5 ... 8, 13, ... Est-ce de la suite de Fibonacci dont-il s'agit ?

Non, non, c'était un exemple comme ça.

[inviteabe6c916]

La suite de Fibonaci c'est pas une suite tels que le départ soit 1,2 et que apres chaque nombre est la somme des deux précedents?
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,2 33,377,610,987,1597,2584,4181, 6765,10946,17711,28657,46368,7 5025,121393,196418,317811,5142 29,832040 etc... bon un petit dernier pour bien vous faire comprendre 1346269 mais ca peut continuer longtemps

[murzomurzo]

Bonjour,

2, 3, 5 ... 8, 13, ... Est-ce de la suite de Fibonacci dont-il s'agit ?
Quoi qu'il en soit, 10^-2 + 10^-2-3 + 10^-2-3-5 + 10^..., cela fait :
10^-2 + 10^-5 + 10^-10 , c'est à dire :
1/100 + 1/100000 + 1/0000000000 ...
C'est une suite convergeante très rapide.
Quels sont les deux ensembles qui pour toi sont équipotents ?
Attention : l'appariement de N^N et de R est une hypothèse (ce n'est mentionné dans aucun manuel).

une injection de R dans N^N est aisée selon le signe commencer par 0 ou 1 et utiliser ensuite y la valeur absolue de x
en deuxième entier prendre le nombre de chiffres avant la virgule de y (base décimale) puis ensuite mettre les chiffres successifs
du développement décimal illimité (finir par des 0 si y est décimal)
une injection de N^N dans R est facile aussi: si la suite x est x1 x2 x3 x4 .. on fait la suite y1=1; y2=2+x1;y3=3+x1+x2;y4=4+x1+x2+ x3 etc
la suite y est une suite strictement croissante d'entiers
on pose alors f(x)=(10^-y1)+(10^-y2)+(10^-y3)+... (série convergente vers un nombre reel dont toutes les décimales sont 0 ou 1)
l'existance de ces deux injections prouve celle d'une bijection (ça c'est dans les manuels)