Calcul d'une espérance mathématique

[invitebb921944]

Bonjour,
Je ne parviens pas à retrouver par le calcul direct l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

J'ai :


Le coefficient binomial me gêne et je ne vois pas comment m'en débarasser.

Merci pour votre aide !
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[invite769a1844]

Bonjour,
Je ne parviens pas à retrouver par le calcul direct l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p.

J'ai :


Le coefficient binomial me gêne et je ne vois pas comment m'en débarasser.

Merci pour votre aide !

Si suit une loi binomiale de paramètre , on peut l'écrire où les sont iid et suivent une loi de Bernoulli de paramètre .

Et

[invitebb921944]

Je connaissais cette méthode mais n'y a t'il pas une méthode directe de calcul ?
En tout cas merci pour ta réponse.

Au passage je bloque aussi sur le calcul de variance qui font intervenir du k² dans le calcul de certaine somme, par exemple dans le calcul de la variance d'une loi de Poisson de paramètre . On peut se débarasser du k ici en le simplifiant avec le k! du dénominateur et dans d'autres cas en utilisant la dérivation terme à terme de séries entières mais comment faire lorsque l'on a du k² ?

[invite769a1844]

je me rappelle avoir cherché une "méthode directe" et m'être cassé les dents.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Pour le calcul direct, il faut jouer avec les coefficients binômiaux.
Pose k'=k-1 et essaye de revenir à du

[Garf]

En méthode directe, on peut passer par des polynômes (méthode taupinale) :



Yaka dériver selon , que l'on va supposer pour l'occasion non nul :



Faukon prenne maintenant et :





Miracle, ça marche aussi quand est nul.

On peut aussi calculer les moments d'ordre supérieur avec cette méthode (même si les calculs sont plus pénibles).

Edit : oui, je suppose que la méthode de Coicoin est plus simple est plus directe... M'enfin, celle-là est sympa à connaître.

[invitebb921944]

Merci Garf, très jolie méthode !
P.S. : Je n'ai toujours pas réussi avec celle de Coincoin !
Merci à tous pour vos messages.

[invitebb921944]

Je me demandais quand même :
N'est-ce pas un peu de l'escroquerie de dériver d'abord par rapport à x (et donc de considérer y comme une constante), puis de remplacer ensuite x par p et y par 1-p ? Car il est alors clair que dériver l'expression globale par rapport à x=p nous amène à dériver aussi le terme y=1-p qui n'est plus du tout une constante lorsque x varie.
En fait, tu n'as le droit de remplacer x et y respectivement par p et 1-p dans ta formule précédente (la deuxième que tu as écrite) que si tu as établi cette formule, sinon pour tous les x et y, au moins pour le cas x=p et y=1-p.
Or quand tu dérives ta première expression par rapport à x et que tu considères y comme une constante (de x), tu mets implicitement de coté les éventualités ou x et y sont en relation, ce qui est bien le cas lorsque x=p et y=1-p. En gros, ta deuxième relation n'est valable que si y est une constante de x, tu ne peux donc pas l'utiliser en remplacant x par p et y par 1-p. Non ?

J'espère avoir été clair... Je suis désappointé. Mais c'est tellement beau que je dois dire une bêtise... Comme d'habitude .

[Coincoin]

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Mean

[Romain-des-Bois]

Je me demandais quand même :
N'est-ce pas un peu de l'escroquerie de dériver d'abord par rapport à x (et donc de considérer y comme une constante), puis de remplacer ensuite x par p et y par 1-p ? Car il est alors clair que dériver l'expression globale par rapport à x=p nous amène à dériver aussi le terme y=1-p qui n'est plus du tout une constante lorsque x varie.

Salut,

beh non
Tu as
Tu dérives par rapport à , tu obtiens :

Ce qui est une égalité vraie pour tout couple En particulier, pour ...

Romain

[invitebb921944]

Bah je suis désolé mais je suis toujours pas convaincu.
Si j'ai :

Je dérive par rapport à x, j'obtiens bien

Mais si y dépend de x, on a y=u(x) et alors l'expression devient :

ce qui n'est sensiblement pas la même expression.

Pour moi, c'est un peu comme si tu disais la chose suivante :
La dérivée (par rapport à x) de xy, c'est y.
Maintenant, je peux remplacer y par cos(x) et j'en déduis donc, par l'égalité faite précédemment que la dérivée de xcos(x) par rapport à x, c'est cos(x), ce qui est évidemment faux. Ca ne marche pas tout simplement parce que cette fameuse égalité que j'ai établie précédemment n'est vrai que si y est une constante de x. Je n'ai par conséquent pas le droit de remplacer y par une expression de x dans cette égalité.

[invitebb921944]

Merci pour ta méthode coincoin .

[Garf]

Ganash, tu confonds deux choses :
* La dérivée de (x cox(x)) ;
* La dérivée partielle de xy par rapport à x, évaluée en y=cos(x).

C'est sensiblement la même erreur que de confondre f'(g(x)) (f', évaluée en g(x)) et (fog)'(x).

Par ailleurs, si tu regardes encore une fois mon calcul, tu vois bien que la deuxième ligne de formules est valable quelques soient x réel non nul et y réel, et que, p non nul étant fixé, il n'y a aucune raison pour que je m'empêche de l'appliquer pour x=p et y=1-p.

[invitebb921944]

Merci pour ces précisions.