Représentation des groupes finis

[invitebb921944]

Bonjour,
Je ne parviens pas à faire deux exos de la théorie des représentations.
Voici les énoncés :

1) Le premier est assez amusant :

"Après la vogue du sudoku, voici le dernier né des jeux de grille à compléter. Le principe est simple : il s'agit de reconstituer la table des caractères d'un groupe fini. Chaque ligne correspond à une représentation irréductible, chaque colonne à une classe de conjugaison. Le nombre situé au dessus d'une colonne est le cardinal de la classe de conjugaison concernée. Saurez vous remplir les 14 cases vierges de la grille ci-dessous ?"
Je vous décris la grille :

C'est une grille 4x4.
Au dessus respectivement de la première, deuxième, troisième et quatrième colonne, on a les nombres 1, 6, 14, 21.
Deux cases de la grille sont remplies : la case du coin en bas à gauche qui contient un 6 et celle qui est juste à sa droite qui contient -1.

Il faut bien entendu justifier chaque déduction.

On peut déjà remplir la première ligne par des 1, ce qui donne le caractère de la représentation unité.

Ensuite, en ajoutant les cardinaux des classes de conjugaison, on sait que Card(G)=42. Par la relation (où les sont les représentations irréductibles), on a : , ce qui force {a,b}={1,2}.
On a rempli la première ligne et la première colonne au complet.
Maitenant, on a les deux relations suivantes sur la deuxième colonne :

, ce qui donne
et
, ce qui donne :
.

Bon là si les caractères sont réels, pas de problème la deuxieme relation donne le triplet {1,1,2} et la première montre que le 2 est en fait le caractère de . Mon problème, c'est que je ne vois pas pourquoi ce serait des nombres réels.
Je bloque ici dans le remplissement de la grille...


2)Soient et deux représentations de telles que pour deux entiers . Montrer qu'il existe une représentation de et deux entiers tels que et .

Alors je commence par . On décompose en somme d'irréductibles :
.
Là j'ai envie de prendre où . On aurait donc .
Maintenant, si , l'isomorphisme nous donne pour tout , , ou encore et donc . Je peux donc conclure en prenant à condition que soit entier, ce qui ne me parait pas évident.

Voilà, merci pour votre aide.
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[invitebb921944]

J'ose un petit up au cas où un initié de cette théorie maléfique passerait par là...

[Romain-des-Bois]

J'ose un petit up au cas où un initié de cette théorie maléfique passerait par là...

Ils n'ont pas l'air d'être nombreux