[MPSI] Equadiff 1er Ordre (Vérification)

[invite9bb65bb6]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à rendre pour demain, je l'ai fait entièrement mais j'ai quand même un léger doute sur la solution finale donc je suscite votre attention.

Determiner les fonctions solutions de l'équation differentielle:
(1-x)²y' = (2-x)y (E) sur ]-1;1[
Peut-on définir une solution sur un intervalle plus grand? valant 1 en 0?

Ma réponse:

(E) équ: y'=(2-x)y/(1-x)²
Solution du type exp(u(x))
u'(x)=(2-x)/(1-x)² = A/(1+x) + B/(1-x)

= (A-Ax + B + Bx)/(1-x)²

Systeme: A+B =2 et B-A=-1 d'ou B=1/2 et A=3/2

u'(x)= (1/2)/(1+x) + (3/2)/(1-x)
u(x) = (1/2)ln(1+x) + (3/2)ln(1-x)

Peut-on définir une solution sur un intervalle plus grand?
NON

SOLUTION:
y=k( exp((1/2)ln(1+x) * exp((3/2)ln(1-x))
=k[rac(1+x)* (1-x)*rac(1-x)]
=k[(1-x)*(rac(1-x²))]

valant 1 en 0?

y(0)=1
y(0)= k
donc k=0
DONC OUI

Est-ce correct ?
Merci d'avance.
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[Thorin]

Peut-on définir une solution sur un intervalle plus grand?
NON

Pourquoi pas ?

[invite9bb65bb6]

En fait je vient de m'apercevoir que jme suis totalement gouré au début, je le refait et je remet ca.

[invite9bb65bb6]

(E) équ: y'=(2-x)y/(1-x)²
Solution du type exp(u(x))

u'(x)=(2-x)/(1-x)² = (-1/2)* [(2x-2)/(1-x²)] + 1/(1-x)²

u' ( x)= -1/2 * u'/u - (-v')/v²

d'ou: u(x) = -(1/2)ln((1-x)²) + (1/1-x)

Peut-on définir une solution sur un intervalle plus grand?
Je sais pas

SOLUTION:
y=k( exp(-(1/2)ln((1-x)²) + (1/(1-x))
=k[exp(-ln(1-x))*exp( (1/1-x))
=k[1/(1-x)*exp( (1/1-x))]

valant 1 en 0?

y(0)=1
y(0)= k
donc k=0
DONC OUI

Est-ce correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Peut-on définir une solution sur un intervalle plus grand?
Je sais pas

Et bien essaie de résoudre sur R, pour voir (parce que c'est bien dans cette question que réside l'intérêt de l'exo, le reste, on s'en fiche un peu...).

[invite9bb65bb6]

Oui mais comment dois-je procéder ?

[Thorin]

bah au lieu de faire sur ]-1,1[, fais le sur ]-infini, -1[
Où est le problème ?

[invite9bb65bb6]

Etant donner que:
u(x) = -(1/2)ln((1-x)²) + (1/1-x)

La seule chose requise pour que u existe c'est que x soit different de -1 et 1 donc on peut définir la solution également sur ]-infini;-1[ et ]1;+infini[
J'ai juste ?

[Thorin]

pourquoi -1 ?

[invite9bb65bb6]

Oué je me suis laissé trompé par l'énoncé, j'ai trouvé.

Merci Thorin.

[Thorin]

Il y a encore des choses à voir :
dans ton calcul de k, il y a des choses pas très logiques...

[invite9bb65bb6]

Oui le calcul est faux en haut mais je l'ai réctifié k=1/e