Equation dans C

[invite5ea7aaa4]

Bonjour, j'ai deux équations à résoudre dans C, je trouve des solutions mais je pense qu'on doit pouvoir les simplifier ou passer par une autre méthode pour trouver des solutions plus simples!

Voici l'énoncé :

Résoudre dans C l'équation z² - (10 + 4i)z + 13 + 26i = 0
et z² - (2cosa)z + 1 = 0


Pour la 1ère équation :
Je suis passé par le discriminant et je trouve :
z1 = 5 - 2racine(2) + i(2 + racine(6))
z2 = 5 + 2racine(2) + i(2 - racine(6))


Pour la 2nde équation : j'ai distingué 2 cas :
1)cos a = 1, on a alors z = 1

2)cos a différent de 1, on a un discriminant négatif et on arrive à deux racines :
z1 = cosa - iracine(valeur absolue cosa -1)
z2 = cosa + iracine(valeur absolue cosa -1).

Voilà j'attends vos réactions, merci d'avance
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[Thorin]

Pour la deuxième équation, on peut remarquer que 2cos(a)=2*Re(e^(ia))=e^(ia) + e^(-ia)
et que 1=e^(ia)*e^(-ia)

Ainsi, e^ia et e^(-ia) sont solutions.

[invite5ea7aaa4]

Ah oui la formule d'Euler j'avais oublié!!
En revanche je vois pas comment tu fais pour arriver à trouver ces deux solutions, comment tu fais??

[Thorin]

dans un trinôme x²+bx+c, b est l'opposé de la somme des racines, et c le produit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ea7aaa4]

Très bien merci beaucoup pour votre aide!

[invite5ea7aaa4]

En tapant la 1ère équation à la calculatrice, je trouve deux solutions :
z1 = 2 +3i
z2 = 8+ i
Ces deux solutions diffèrent de celles que j'ai trouvées précédemment! N'y a-t-il pas une autre méthode pour résoudre ce trinômes et trouver ainsi ces 2 solutions?

[Thorin]

Tes solutions étaient fausses...tu as du faire une erreur de calcul.

[invite5ea7aaa4]

Eh bien en fait je trouve delta = 32 - 24i, et je suis sur de ne pas m'être trompé dans mes calculs pour delta.
Ensuite pour le calcul des racines j'arrive logiquement à :
z1 = 5+2i + racine(8-6i)
z2 = 5+2i - racine(8-6i)
Voilà et après j'arrive pas à passer de ça à 2+3i et 8+i.

Encore merci pour votre aide!

[Thorin]

racine(8-6i), c'est égal à quoi, pour toi ?

[invite5ea7aaa4]

Logiquement ça devrait être égal à 3 - i mais je ne vois pas pourquoi...

[Thorin]

tu n'as pas appris à calculer les racines de nombres complexes en cours ?

[invite5ea7aaa4]

Euh honnêtement ça ne me dit rien du tout!
(3 - i)² = 9 -1 -6i = 8 - 6i.
Bon là je peux le faire dans ce sens mais j'aurai pas su comment faire dans l'autre sens!

[Thorin]

Bah c'est pas très compliqué, mais je suis étonné que tu aies des exos à faire sur ça avant de l'avoir vu...

[invite5ea7aaa4]

Juste par pure curiosité, comment on peut le faire alors??

[Thorin]

calculons la (en fait, les !) racine(s) de 8-6i
C'est à dire trouvons un complexe a+ib tel que
donc,
Par identification, on a alors :

et :



D'autre part, on peut se servir du module :
on a que
Et comme , on a :


Si l'on prend en considération tout ce que j'ai dit, on a donc :

et


Si l'on additionne ces 2 derniers équations, on trouve que , d'où a=3 ou a=-3
De plus, si l'on soustrait les deux équations, on trouve que , d'où b=1 ou b=-1

On a donc pour le moment 4 solutions possibles :
. Cela fait trop...un complexe a deux racines au max !
On se souvient que , ce qui implique que a et b sont de signes différent.
Parmi les 4 solution, on ne garde donc que et

Et on vérifie facilement que et sont les racines du complexe.


Tu es en quelle classe ?