Bonjour à tous.
J'aurai besoin d'aide pour une question d'arithmétique à laquelle je bloque:
Il s'agit de montrer que 2n+ou-1 ne donne jamais un couple de premiers jumeaux, sauf pour n=2.
Je pense que les nombres de Mersenne devrai nous aider mais je ne vois pas comment.
MERCI
facile : l'un des 2 est un multiple de 3.
pourrai tu develloper? je vois pas trop
si tu connais les congruences, voila :
(2^n-1)*(2^n+1)=4^n-1 or 4=1[3] donc 4^n-1=1^n-1[3]=1-1[3]=0[3]
donc 3 divise (2^n-1)*(2^n+1) donc 3 divise soit (2^n-1), soit (2^n+1).
donc 2^n-1 et 2^n+1 ne peuvent être premiers tous les deux (sauf execption énoncée au début).
MERCI beaucoup. Je comprend mieux ce que tu voulais dire..
si tu connais pas les congruences voila une autre façon de faire :
1) 2^n-1 est premier => n est premier. en effet il est facil de voir que si n=pq alors (2^p-1) | (2^n-1).
2) si 2^n-1 et 2^n+1 sont des premiers jumeaux alors n est premier donc impair
n=2*m+1
3) on montre par reccurence que 3 | 2^n+1 si n est impair :
2^3+1=9 et 9=3*3
supposons que 3 | (2^(2m+1)+1) (donc 2^(2m+1)+1=3w)
2^(2m+3)+1=2^(2m+1+2)+1=4(2^(2 m+1)+1-1)+1=4(2^(2m+1)+1)-4+1
hypothese de reccurence => =4(3w)-3=3(4w-1)
donc 3 divise 2^(2m+3)+1 et donc 2^n+1 n'est pas premier si n impair
conclusion 2^n-1 et 2^n+1 ne sont jamais des premier jumeaux (sauf exception citée).
tu peux aussi dire que, puisque de trois nombres successifs l'un est multiple de 3, et puisque 2^n n'est pas multiple de 3, alors soit 2^n-1, soit 2^n+1 est multiple de 3.
