convergence d'une integrale

[vince3001]

Bonjour,

Je désire etudier la convergence de l'intégrale de 1 à l'infini de :

[cos (x) sin (2x)] / [x(x^1/2+cos(x))] dx

Afin d'utiliser le thm d'Abel, je dois majorer la valeur absolue l'intégrale de 1 à X (pour tt X de ]1;+infini[) de :

[cos (x) sin (2x)] dx

et je voulais donc savoir si j'avais le droit de dire que la valeur absolue de l'integrale de 1 à X est majorée par 8 en suivant le raisonnement suivant :

la valeur absolue de l'integrale de 1 à X de cos x dx est majorée par 2 (d'après le cours)
celle de sin 2x dx par 4 (ça c'est moi qui le suppose)
=>la valeur absolue de l'integrale de 1 à X est majorée par 8

Merci de votre aide
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[vince3001]

A vrai dire on ne peut pas appliquer le theoreme d'abel...(la fonction 1/ Denominateur n'est pas décroissante) ms apres tt peu importe, je veux qd meme savoir si j'ai le droit de majorer mon intégrale par 8 et pis même chose pour mon sin (2x)

Merci

[God's Breath]

Bonjour,

Tu peux toujours calculer explicitement et majorer ensuite...

Il me semble que tu t'engages dans une voie tortueuse, et qu'il est plus simple de prouver que l'intégrale que tu dois étudier est absolument convergente.

[vince3001]

J'ai aussi une autre question et je ne veux pas recréer une discussion avec le meme titre, dc je la place ici :
Sachant que cette intégrale est convergente, et qu'il en est de même pour les intégrales de 0 à l'infini de :

sin x / racine(x) dx d'une part
sin (2x)/ 2x dx d'autre part

comment puis-je en déduire que l'intégrale de 0 à l'infini de [sin x / (racine(x) + cos x )] dx converge ?

Merci pour votre collaboration

[A voir en vidéo sur Futura]

[vince3001]

c'est bon j'ai reussi à prouver la convergence (selon la maniere que tu préconises god's breath), ms sais-tu si l'intégrale de sin 2x est majorée par 4 ?et comment je peux déduire de ttes ces convergences la convergence de l'intégrale de 0 à l'infini de [sin x / (racine(x) + cos x )] dx?

[God's Breath]

La majoration est immédiate, et ton résultat est un peu fort : , donc

Pour la dernière intégrale, il me semble qu'il faut utiliser l'égalité

[vince3001]

merci, je vais refléchir à tout ça...

[vince3001]

Es-tu sûr qu'il faille utiliser ce resultat pour connaitre la convergence de l'intégrale de 0 à l'infini de [sin x / (racine(x) + cos x )] dx?Car j'ai beau chercher, je ne vois pas le rapport...

[God's Breath]

On démontre facilement que l'intégrale est absolument convergente.

Sachant que cette intégrale est convergente, et qu'il en est de même pour les intégrales de 0 à l'infini de :

sin x / racine(x) dx d'une part
sin (2x)/ 2x dx d'autre part

comment puis-je en déduire que l'intégrale de 0 à l'infini de [sin x / (racine(x) + cos x )] dx converge ?

La convergence des intégrales et est des plus classiques(avec le théorème d'Abel)

Es-tu sûr qu'il faille utiliser ce resultat pour connaitre la convergence de l'intégrale de 0 à l'infini de [sin x / (racine(x) + cos x )] dx?Car j'ai beau chercher, je ne vois pas le rapport...

J'imagine qu'il faut exprimer à l'aide des intégrales précédentes.

Je propose donc de commencer par , où l'on fait apparaître des choses un peu plus connues.

[vince3001]

J'arrive pas a me dépatouiller de cette intégrale...j'ai l'idée de chercher la relation entre les intégrales (ou plutot les fonctions...) 1, 2 et 3 pour tomber sur celle dont on me demande la convergence et qui m'embete tant.
J'ai envie de faire un truc du genre :

alpha x 1 + beta x 2 + gamma x 3 =fonction demandée.

et je cherche alpha beta et gamma

mais est-ce qu'un produit permettrai aussi de conclure ? En d'autres termes, est ce que si INTEGRALE de 0 à l'infini de f(x)dx converge et que INTEGRALE de 0 à l'infini de g(x)dx converge alors INTEGRALE de 0 à l'infini de f(x)g(x)dx converge ? (ça m'embeterai car dans ce cas ma méthode avec la somme n'est pas sûr de marcher...)

[God's Breath]

J'ai envie de faire un truc du genre :

alpha x 1 + beta x 2 + gamma x 3 =fonction demandée.

et je cherche alpha beta et gamma

C'est dans cette voie que j'essaie de t'engager en te proposant un début de décomposition qui fait apparaître

est ce que si INTEGRALE de 0 à l'infini de f(x)dx converge et que INTEGRALE de 0 à l'infini de g(x)dx converge alors INTEGRALE de 0 à l'infini de f(x)g(x)dx converge ?

Que penses-tu de la nature des intégrales , et , lorsque ?

[vince3001]

intuitivement, comme l'integrale de sin x / racine de x converge, j'ai envie de dire qu'il en est de meme pour sin² x / x ...

[God's Breath]

Malheureusement : , mais diverge, et converge...

[vince3001]

bref tu viens de me prouver que l'integrale de sin² x / x n'est pas convergente car c'est la somme d'une intégrale convergente et d'une divergente.Ceci implique donc que le produit d'integrale convergente reste indeterminé...
J'en déduis que la composition est nécessairement une somme, et les coeff sont obligatoirement des constantes (car sinon je ne peux pas conclure d'apres ce qui precede) et je ne peux donc pas poser alpha = sin x / racine de x car sinon je suis obligé de refaire une étude pour prouver la convergence de l'integrale et la "déduction" n'a plus gd sens...
Logique ou absurde ?

[God's Breath]

Tu sais que les intégrales , et sont convergentes.

L'énoncé, tel que tu le présentes, semble donc orienter les recherches vers une combinaison : .

J'ai proposé un début de décomposition, mais je ne sais pas si c'est la bonne méthode.

[vince3001]

c'est bon, je m'étais planté ds les calculs, la combinaison ne dépendait pas de x.J'ai trouvé les coeff.
Merci