Topologie : fonction continue et courbe fermée

[Eunomia]

Bonjour !

J'ai une fonction f:[a,b]->R bornée (R étant l'ensemble des réels), et Cf sa courbe représentative.

Je dois montrer que si f est continue sur [a,b], alors Cf est une partie fermée de R² pour la distance usuelle.

Pourriez-vous me dire si cette preuve est correcte ? :

Soit F: [a,b]R R définie par F(x,y)=y-f(x). Bien sur, si f est continue, F est continue. Il est immédiat que Cf=F-1({0}) et on sait que l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue est fermée.

[Eunomia]

F:[a,b]xR -> R, pardon

[God's Breath]

Bonjour,

Soit F: [a,b]R R définie par F(x,y)=y-f(x). Bien sur, si f est continue, F est continue.

En est-on à ce point certain, que cela puisse être affirmé sans aucun embryon de preuve ?
La suite se débobine effectivement sans problème.

[Eunomia]

Eh bien cela me paraît logique que y soit continue dans R et on sait que f(x) est continue. Et je n'arrive pas à voir pourquoi ça pourrait ne pas être vrai ?

[Eunomia]

f(x) est continue.

Je voulais bien sûr dire f et pas f(x)

[edpiste]

Attention, ce n'est pas la même chose de dire que

x->f(x) est continue et que (x,y)->f(x) est continue

car l'espace de départ (et sa topologie) n'est pas le même dans chaque cas.
Il faut donc travailler un peu plus...