[ Maths ECS ] Suites et limites

[inviteb64a2f8e]

Bonjour,

Voilà je suis en train de chercher un exercice sur les limites de suites et équivalents et je bloque à une question. Voilà l'énoncé :

Soit (an) une suite telle que lim (an+1/an) = l quand n tend vers + l'infini (l appartenant à R) et un rang n0 à partir duquel an>0

1) Justifier que l appartient à R+

2) On suppose l dans [0;1[
Prouver qu'il existe un entier n1 tel que
quelque soit n>=n1, abs (an+1) <= (1+l) * abs(an) / 2
En déduire que la suite (an) converge vers 0 (on montrera que an est majoré par le terme général d'une suite géométrique convergente)

3) On suppose à présent que l > 1
Prouver qu'il existe un entier n2 tel que
quelque soit n >= n2 , abs (an+1) >= (1+l)*abs(an) / 2
En déduire la nature de la suite (an)

4) Déterminer les limites des suites de terme général :
2^n / n^3
et 2^n / n!

Je pense avoir réussi la question 1) en utilisant la définition de la limite (avec epsilon) et en utilisant la positivité de la suite à partir d'un certain rang. En revanche, je ne sais pas trop comment faire avec les questions suivantes. Faut-il utiliser de nouveau la définition de la limite et donner une valeur à epsilon ,comme (1-l) /2 ou quelque chose comme cela ?

Voilà, j'espère et que vous accepterez de m'aider

Merci

ZimbAbwé
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[Thorin]

HEC....Enculééééés


Bref...

ce n'est effectivement pas forcément évident...

commençons donc par la question2 :

Reviens à la définition et pose par exemple , qui est strictement positif car

[inviteb64a2f8e]

Tout de suite les préjugés alala j'vous jure ^^

∨0 ,il existe n0∈N ,∨n≥n0 ,∣an1/an−l ∣≤ 

Donc, ∨0 ,il existe n0∈N ,∨n≥n0 , −l ≤ an1/an ≤ l

Alors en prenant epsilon = (1-l)/2 (strictement positif car l<1), on a :

∨0 ,il existe n0∈N ,∨n≥n0 , an+1/an <= (1-l)/2 + 2l/2
an+1/an <= (1+l) / 2
an+1 <= (1+l) / 2 * an


Le problème est que mon inégalité ne contient pas la valeurs absolues... :S

C'est bon ?

Faut-il que j'essaie avec epsilon = l - (1+l) / 2 ?

[Thorin]

Question : sachant que la suite est positive à partir d'un certain rang n , à quoi est égale la valeur absolue d'un terme d'indice plus grand que n ?


NB : les caractères mathématiques de ton précédent message sont illisibles chez moi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Ah ui c'est vrai j'avais oublié cette hypothèse que an<0 à partir d'un certain rang n1

Donc la valeur absolue d'un terme d'indice plus grand que ce rang n1 c'est lui même non ?

Mais ça veut dire que dans ma réponse précédente je peux rajouter des valeurs absolues à (an+1) et à (an) en précisant que n doit être supérieur au max de n0 et n1 ?

PS : désolé pour l'écriture mathématique je vais arrêter

[inviteb64a2f8e]

Mais en fait le truc que je comprends vraiment pas trop c'est l'histoire de majorer (an) par le terme général d'une suite géométrique convergente.

On la sort d'où cette suite ? En quoi ça prouve que an converge vers 0 ? Ca me parait bizarre :S

[inviteb64a2f8e]

Désolé de paraître lourd mais ça m'embete de pas comprendre cette histoire de limites de suite...

Personne ne peut ou ne veut m'aider un tant soit peu, au moins pour me mettre sur la voie ?

Merci à Thorin pour le début et merci à ceux qui voudront éventuellement m'aider

ZimbAbwé

[ericcc]

Tu as An+1<K*An à partir d'un certain rang, cela devrait te mettre sur la voie pour la suite géométrique ?

[inviteb64a2f8e]

An+1 < K * An mais alors la suite géométrique en question avec laquelle je dois majorer An est An elle-même ?
Ca semble étrange car An n'est pas géométrique (on n'a pas An+1 = q * an) :S

[Thorin]

Effectivement, An n'est pas elle même géométrique...mais elle est inférieur à une suite géométrique, à savoir la suite

[inviteb64a2f8e]

En quoi ai-je le droit de dire que An est inférieur à Un (avec Un+1 = k.Un) ?

On a An+1 < K.An (avec K = (1+l)/2 donc K<1)
Mais comment passe t-on à An < Un ?

Et après comment démontrer que Un est convergente et ensuite que An converge vers 0 ?

[Thorin]

Dans ce cas, autre rédaction :
montre par récurrence que

Ensuite...une suite positive plus petite qu'une suite convergent vers 0, ça ne te rappelle pas le théorème des gendarmes ?

[inviteb64a2f8e]

Si j'arrive à démontrer que An < A0.k^n , je sais que abs(k)<1
Donc A0.k^n converge vers 0 et donc An converge vers 0

Mais comment démontrer que An < A0.k^n ?
Pour l'initialisation, je dois partir du rang à partir duquel j'ai démontré la relation précédente entre An+1 et An ?

[inviteb64a2f8e]

C'est bon ! ^^

J'ai finalement réussi à comprendre cette fichue question 2 et cette histoire de terme général d'une suite géométrique convergente. Les questions 3 et 4 sont alors faciles.

Merci beaucoup à ericcc et Thorin !

J'ai un nouveau problème ^^ Mais cette fois-ci de dénombrement donc je pense que je vais créer une nouvelle discussion, en espérant que vous m'aidiez :P

Merci à tous !

ZimbAbwé.