Analyse combinatoire

[Ninety]

Bonsoir,

J'essaye de finir un exercice d'analyse combinatoire mais je bloque sur la derniere question . Tout d'abord l'enonce (tres court) :

1) Combien peut-on ecrire de nombres a 4 chiffres distincts ?
2) Combien y'en-t-il d'impairs ?
c) Combien y'en a-t-il qui soient a la fois divisibles par 5, contenant 7 et deux chiffres pairs (On considere 0 comme un chiffre pair) ?

Pour la premiere question, c'est simple, on calcule le nombre d'arrangements simple (A^p_n, avec et ) au quel on soustrait le nombres d'arrangement simple avec et car on enleve tout les arrangements commencant par 0. Je trouve 4536.

Pour la deuxieme question on procede a peu pres de la meme maniere (on aura 5(A³₉ - A²₈)).

Par contre, pour la derniere question je vois pas vraiment comment faire ... le seul truc que j'ai trouver c'est que les nombres trouves finirons soit par 0 soit par 5 \o/.


J'espere que vous pourrez m'aider .
Merci beaucoup et a bientot :P.
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[invite9cf21bce]

Bonsoir,

J'essaye de finir un exercice d'analyse combinatoire mais je bloque sur la derniere question . Tout d'abord l'enonce (tres court) :



Pour la premiere question, c'est simple, on calcule le nombre d'arrangements simple (A^p_n, avec et ) au quel on soustrait le nombres d'arrangement simple avec et car on enleve tout les arrangements commencant par 0. Je trouve 4536.

Pour la deuxieme question on procede a peu pres de la meme maniere (on aura 5(A³₉ - A²₈)).

Par contre, pour la derniere question je vois pas vraiment comment faire ... le seul truc que j'ai trouver c'est que les nombres trouves finirons soit par 0 soit par 5 \o/.


J'espere que vous pourrez m'aider .
Merci beaucoup et a bientot :P.

Bonsoir.

Tu peux partitionner selon la position du 7 (unique, puisque les chiffres sont différents) :

Commençant par 7 finissant par 0
Commençant par 7 finissant par 5
Commençant par !=7, un 7 en 2e ou 3e position, finissant par 0
Commençant par !=7, un 7 en 2e ou 3e position, finissant par 5

(!= : différent de)

Ou bien :
Commençant par 7 finissant par 0
Commençant par 7 finissant par 5
Commençant par !=7, un 7 en 2e position, finissant par 0
Commençant par !=7, un 7 en 2e position, finissant par 5
Commençant par !=7, un 7 en 3e position, finissant par 0
Commençant par !=7, un 7 en 3e position, finissant par 5

Dans les cas 1, 3, 5, tu peux ensuite repartitionner selon la position de l'autre chiffre pair, par exemple.
Taar.

[Ninety]

Salut,

Merci pour ta reponse, j'avance petit a petit .

J'ai les possibilites suivantes :

1. 7, a, b, 0

Le couple {a, b} ne peut pas etre compose de 2 chiffres pairs ou de deux chiffres impairs. On a donc A²₁₀ - 2 * A²₅ = 90 - 40 = 50.

2. 7, a, b, 5

Le couple {a, b} se compose seulement de 2 chiffres pairs : n = {0, 2, 4, 6, 8} et p = 2, on aura A²₅ = 20.

3. a, b, 7, 5

Comme le 2. mais ne commencant pas par 0 : A²₅ - A¹₄ = 20 - 4 = 16.

4. a, 7, b, 5

Meme nombre de possibilite que le 3.

5. a, b, 7, 0

Comme le 1. mais ne doit pas commencer par 0 : 50 - A¹₉ = 41

6. a, 7, b, 0

Pareil que le 5.


J'ai donc 50 + 20 + 2 * 41 + 2 * 16 = 184, or si je regarde la reponse ca me donne 148 (Ya juste le resultat dans la reponse). Ou est le bug ? ^^

Merci .

[invite9cf21bce]

Je pense que l'essentiel du bug vient du fait que tu n'as pas tenu compte du fait que les quatre chiffres sont différents.

Je trouve autre chose que toi dans les cas 1, 5 et 6 (selon ta numérotation). Et je trouve bien un total de 148.

Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ninety]

Bon ... ^^

Les quatre chiffres sont différents alors pour les cas ou la combinaison finit par 0 on a :

a = {1, 3, 5, 9} le 7 étant déjà utilise
b = {2, 4, 6, 8} le 0 étant déjà utilise

7, a, b, 0
7, b, a, 0

a, 7, b, 0
b, 7, a, 0

a, b, 7, 0
b, a, 7, 0

A mon avis les 3 cas ont le même nombres de possibilités ... ^^ :P
Pour trouver le nombre de solutions je serais tente de faire :

A²₄ mais ça fait 12 ...

Par contre si je fait n_a * n_b je trouve bien 16 mais je préférais un calcule avec A, P et/ou C ...


Voila, si tu pouvais m'éclairer un peu plus ça serait sympa =).

Merci.

[invite9cf21bce]

Bon ... ^^

Les quatre chiffres sont différents alors pour les cas ou la combinaison finit par 0 on a :

a = {1, 3, 5, 9} le 7 étant déjà utilise
b = {2, 4, 6, 8} le 0 étant déjà utilise

7, a, b, 0
7, b, a, 0

a, 7, b, 0
b, 7, a, 0

a, b, 7, 0
b, a, 7, 0

A mon avis les 3 cas ont le même nombres de possibilités ... ^^ :P
Pour trouver le nombre de solutions je serais tente de faire :

A²₄ mais ça fait 12 ...

Par contre si je fait n_a * n_b je trouve bien 16 mais je préférais un calcule avec A, P et/ou C ...


Voila, si tu pouvais m'éclairer un peu plus ça serait sympa =).

Merci.

Tu peux difficilement utiliser des arrangements astucieux ou autres, vu que tu tires dans deux ensembles disjoints... Au mieux, pour le 1 :

Un dans les pairs, un dans les impairs, ça fait : A₄¹ x A₄¹
Deux positionnements : 2 x A₄¹ x A₄¹
Total 2 x 4 x 4 = 32

Ou bien : A₈²-2 x A₄²

Les cas 5 et 6 sont strictement identiques, vu que 0 est déjà utilisé.

[Ninety]

Ahhh okay . Ben merci ! J'y penserais quand j'aurais des ensembles differents .

a+