Etude de points singuliers, courbes paramétrées

[GalaxieA440]

Hello à tous !!

J'ai quelques petits problèmes sur les études de points singuliers pour les arcs paramétrés. Voilà :

Méthode 1 : en un point singulier la courbe est dirigée par le premier vecteur dérivée non nul. Ok pour cette méthode, elle marche bien mais peut se révéler très longue et calculatoire.

Méthode 2 : utilisation des DL (au voisinage de 0, par changement de variable si besoin est). Alors la je suis un peut perdu. J'ai relu quelques exercices faits en cours ou en un point singulier le prof donne une sorte "d'équivalence" (je ne sais pas si c'est le bon terme) des coordonées, dans un repère qui peut être modifié. Je ne vois pas comment obtenir les coordonées, ni comment ensuite interpréter la direction de la courbe...

Méthode 3 : sur le Monier (géométrie MPSI), le rapport y(t)/x(t) est étudié pour donner les coordonées de la direction de la tangeante au point considéré... Je croyais que cette méthode ne poivait pas être utilisé en un point singulier....



Quelqu'un pourrait il éclairer ma lanterne...

Merci beaucoup et bonnes vacances

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[GalaxieA440]

En plus d'après le Monier on peut directement obtenir avec un DL les coordonées des vecteurs dérivées premiers deuxième troisième, etc, ce qui est très intéressant pour déterminer les points de rebroussement de 1° et de 2° espèce.

Des éclaircissement ???

Merci

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[Hamb]

Pour ce qui est de la méthode par les développements limités, il s'agit d'effectuer un DL des 2 fonctions coordonnées et d'identifier avec la formule de taylor young coefficient par coefficient (car il y a unicité du DL en un point). Ainsi tu obtiens la valeur de chaque vecteur dérivé et il te reste a chercher le premier non nul et ensuite le 1er non colinéaire pour connaitre la nature du point.
La méthode avec le rapport y(t)/x(t) est moins pratique, mais elle peut marcher pour les points singuliers je crois, c'est juste que tu auras une indétermination à lever. par exemple x(t) = t² et y(t) = t^3, le vecteru dérivé est nul en (0,0) et y(t)/x(t) = t^3/t²=t tend vers 0 donc tu as une tangente horizontale.

[GalaxieA440]

Hello Hamb, merci pour ta réponse

Pour la méthode des DL des deux coordonées, c'est justement l'identification d'après la formule de Tailor-Young que je ne maîtrise pas du tout puisque rien à propos n'a encore été fait en cours. Enfin on a fait quelques exemples mais sans théorie générale, le rendu est donc assez bordelique(^^).

Quelqu'un aurait il un exemple pour que je comprenne le truc, puisque sur les bouquin ils sortent : "donc par identification par la formule de TY, machin...)

Merci de l'aide

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[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

OK, alors tu as une courbe (x(t),y(t)) et tu cherches, par exemple, ce qu'il se passe en 0.
tu effectues un DL de x(t) et y(t) en 0, à un ordre suffisant pour avoir des termes non-nuls (apres faut voir jusqu'ou il faut aller).
Mettons que tu obtiennes un truc du genre x(t) = t² +t^3 +o(t^3) et y(t) = t+t^3 + o(t^3)

la formule de taylor-young affirme que : f(t) = f(0) + f'(0)t + f''(0)t²/2 + f'''(0)t^3/6 + o (t^3)

donc par identification le vecteur dérivé en 0 est (0,1), le vecteur dérivée seconde est (2,0) et le vecteur dérivé 3e est (6,6)

[GalaxieA440]

plop

merci pour la réponse je vois un peu mieux le truc maintenant, mais je ne vois pas par contre comment tu identifies et où sont les termes non nuls dans l'exemple que tu donnes. Note : on à seulement abordé les DL au voisinnage de 0, mais je en pense pas que le problème vienne de la...

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[Hamb]

alors, lorsque tu as f(t) = a0 + a1 t + a2 t² + o(t²)
et également f(t) = b0 + b1 t + b2 t² + o(t²)
Tu peux identifier les 2 DL, c'est à dire écrire :
a0 = b0 et a1 = b1 et a2 = b2.
idem si tu as un développement a un ordre supérieur.
dire qu'un vecteur est nul, c'est dire qeu toutes ses coordonnées sont nulles.

edit : je précise quand meme que dans mon exemple le point n'est pas singulier, c'était juste pour donner une idée de la méthode.

[GalaxieA440]

ok d'accord c'est bon je comprend tout

Merci beacoup pour cet éclaircissement

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[GalaxieA440]

Mouais je remaque après quelques essais que cette méthode d'utiliser des DL est surtout intéressante pour des fonctions qui ne sont pas de classe C infini et la au voisinnage de 0 car les changements de variables permettant de ramener les DLs au voisinage de 0 alourdissent pas mal les calculs en fin de compte....

Mais merci de l'aide

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