Espace complet

[invitedbe5e39e]

Bonjour !

J'ai un espace métrique (X,d), et r un réel strictement positid. Je dois montrer que si toute boule fermée de rayon r est complète, alors (X,d) est complet.

Voilà ce que j'ai fait :

Soit (Un)n une suite de Cauchy dans X.
Alors il existe un N0 € N (l'espace des nombres entiers) tel que
pour tous p,q € N², ((p>=N0, q>=N0) => (d(Up, Uq)<=r)).

(Un)n est de Cauchy et à termes dans la boule fermée B(UN+1,r), donc elle converge.

D'où (X,d) est complet.

Penez-vous que ce raisonnement est correct ?
Ca me paraît un peu court et simple quand même, sachant que cet exercice est censé représenter un DM ! Mais je ne vois pas ce qui pourrait ne pas aller !

Merci de votre aide
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[invitedbe5e39e]

La boule fermée est B(UN0+1,r) et pas B(UN+1,r), dsl j'ai fait une faute de frappe !

[taladris]

Bonjour,

pour répondre à ta question, je ne vois pas d'erreur. Une suite de Cauchy est bornée, et donc est contenue dans une boule fermée.

C'est vrai que c'est court pour un DM

[God's Breath]

pour répondre à ta question, je ne vois pas d'erreur. Une suite de Cauchy est bornée, et donc est contenue dans une boule fermée.

Une suite de Cauchy est contenue dans une boule fermée... mais il faut se débrouiller pour avoir une boule du rayon voulu, d'où la troncature de la suite au rang .

Reste que c'est plus que maigre (au sens de Baire) pour un DM, ou alors c'est un cadeau d'Halloween.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Une suite de Cauchy est contenue dans une boule fermée... mais il faut se débrouiller pour avoir une boule du rayon voulu, d'où la troncature de la suite au rang .

Reste que c'est plus que maigre (au sens de Baire) pour un DM, ou alors c'est un cadeau d'Halloween.

Ah oui, j'avais mal lu l'énoncé, je croyais qu'on supposait par hypothèse que toute boule fermée est complète. Oubliez ce que j'ai écrit.

[invitedbe5e39e]

Merci pour vos réponses en tout cas !