Etude de Fonction-Prépa HEC.

[invite6cd651d5]

Bonjour
Je suis sur un exercice d'étude de fonction,et je bloque.

soit f(x) = (2x/x+1)-ln(1+x).
On nous demande d'étudier le signe,et de faire un tableau de variations :
la dérivée donne (1-x)/(1+x)².
on trouve donc une courbe croissante sur -1;1 et décroissante sur 1;+∞.

On nous demande d'étudier la nature des branches infinies de f(x).
on remarque premierement qu'il y a une asymptote verticale en -1 car c'est une borne de son ensemble de définition.
Ensuite j'ai voulu étudier la limite de f(x)/x et je bloque ici.Je trouve 0,ce qui impliquerait une asymptote horizontale.Or,en calculant lim f(x) en +∞,je trouve -∞.
Que faire?y aurait-il d'autres branches infinies?

Par la suite,on nous demande de trouver 2 solutions pour f(x)=0.
J'ai uniquement trouvé une solution : 0.
En voyez vous d'autres?si oui,lesquelles?

Merci par avance de votre attention.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Ensuite j'ai voulu étudier la limite de f(x)/x et je bloque ici.Je trouve 0,ce qui impliquerait une asymptote horizontale.

Ou une branche parabolique dans la direction de Ox...

[invite6cd651d5]

D'accord,je te remercie.
Pas la peine d'expliciter plus,dire qu'il s'agit d'une branche parabolique dans la direction de Ox sera juste?


Par la suite,pour résoudre
f(x)=0.
<=>(2x/1+x)=ln(1+x)
<=>e^(2x/1+x)=1+x
<=>e^(2x/1+x)-x=1
mais je ne sais pas si cela va me mener a quelque chose,
ou sinon j'ai essayé de faire un changement de variable,en prenant x+1=X et x=X-1 :

(2x/1+x)=ln(1+x)
<=>2(X-1)/X=lnX
<=>2X-2=XlnX
<=>2=2X-XlnX
<=>e²=e^2X-X²

mais je ne vois pas comment continer...

Merci beaucoup de votre aide

[invite6cd651d5]

graphiquement je viens de trouver une solution aux environs de 4, mais je ne sais toujours pas comment resoudre :
e^2x/1+x-(1+x) = 0 .
si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c37b5cb]

bonjour

x1~=4

x2~=-0.01

[invite6cd651d5]

Merci,je trouve pareil,mais moi graphiquement
Comment as tu fait le calcul?

[invite7c37b5cb]

graphiquement et calcul

[invite6cd651d5]

Pourrais tu éventuellement me donner une piste s'il te plait?

[invite7c37b5cb]

Bon soir
ètude de f(x)=2x/(x+1)-ln(1+x)

x>-1; f(0)=0; x1=0

fmax=f(1)=0.3...>0;

si x-->+inf; f(x)-->-inf(changement de signe pour f(x))

je trouve f(3)=0.11...>0 et f(4)=-0.09...<0

3<x2<4