Analyse Complexe : Intégrale d'un sinc

[Magnétar]

Bonsoir,

Alors voilà je cherche à calculer un grand classique apparemment :



Et ce en utilisant le théorème des résidus et les lemmes de Jordan. Hors j'ai un problème j'obtiens le double de la valeur que je trouve un peu partout sur internet ( au lieu de )
Pour ça je commence par remarquer que sinc(x) est paire ce qui fait que je vais calculer .

Alors premièrement il y a un pôle sur l'axe réel et pour l'éviter je vais le "décaler" en posant :



ainsi f(z) admet un pôle en . Ensuite j'intègre f(z) le long d'un contour fermé formé du demi-cercle de rayon R de centre 0 dans le demi plan supérieur et du segment de l'axe réel [-R;R].

Grâce au théorème des résidus je peut connaitre l'intégrale le long de et grâce au lemme de Jordan je sais que l'intégrale de f(z) le long du demi-cercle s'annule. J'ai donc :



Puis en prenant la limite j'obtiens :



Connaissant le résidus en fonction de il me reste à prendre la partie imaginaire et je connais 2I, le problème est que j'ai et que comme je ne vois pas d'erreur de calcul je pense que l'erreur doit être le raisonnement, en particulier je ne sais pas si je peux prendre impunément la limite . Sachant que je vois toutes ces notions dans le cadre d'un cours de méthodes mathématiques pour physicien il est fort possible que je manque de rigueur (malgré mes efforts).
Voilà désolé pour le roman. Merci à ceux qui voudront bien m'apporter un peu d'aide.
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[God's Breath]

Ton problème provient effectivement tu passage à la limite sur .

L'usage est d'intégrer sur le chemin que tu as choisi, mais en contournant l'origine grâce à un demi-cercle de rayon pour éviter le pôle.

L'intégrale totale est nulle puisque ton chemin n'entoure aucun pôle de la fonction intégrée.
L'intégrale sur le demi-cercle de rayon tend vers 0 grâce au lemme de Jordan.
Les intégrales sur les segments et de l'axe réel tendent vers (les intégrales de la partie réelle en cosinus se compensent par imparité de , et il reste à déterminer la limite de l'intégrale sur le demi-cercle de rayon , parcouru dans le sens horaire (anti-trigonométrique).

Tu peux écrire avec holomorphe dans le plan tout entier.
Dans le disque de rayon 1, est bornée, disons par , son intégrale sur le demi-cercle est donc majorée, en module, par et tend vers 0 avec .
Quand à l'intégrale sur le demi-cercle de , on a, en paramétrant par et en faisant attention au sens de parcours :
qui est indépendant de .

Le passage à la limite fournit donc , et .

J'espère que c'est assez clair malgré l'absence du dessin du chemin utilisé.

[Magnétar]

J'espère que c'est assez clair malgré l'absence du dessin du chemin utilisé.

Oui, c'est même très clair . Merci beaucoup pour ton aide je vais pouvoir dormir.