f(2x) = 2f(x)

[invite5ea7aaa4]

Bonjour à tous je suis bloqué sur une ptite question de mon exo, merci de bien vouloir m'aider!
Voici l'énoncé :

On cherche à déterminer l'ensemble E des fonctions f : R->R telles que
pour tout x sur R , f(2x) = 2f(x) et f est dérivable en 0.

1° Que dire de f(0) si F appartient à E?
Réponse : f(0) = 0

2° Soit f une fonction appartenant à E. On pose, pour x différent de 0, g(x) = f(x) / x

a) Montrer que g(x) tend vers f'(0) quand x tend vers 0-
Réponse : C'est la définition de la dérivée!

b) Soit x sur R*
a) Montrer que pour tout n sur N on a g(x) = g(x/2^n)
Réponse : c'est bon!
b) En déduire que g(x) = f'(0) .
Et c'est là que je bloque, pourtant c'est une déduction!!!

Merci d'avance pour votre aide
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[God's Breath]

Que peux-tu dire de la suite de terme général ?

[invite5ea7aaa4]

Eh bien on peut développer par rapport à l'expression de g(x) en fonction de f(x) donnée à la question 2.
Cela donne :

g(x/2^n) = 2^n/x * f(x/2^n), mais bon c'est le raisonnement effectué à la question précédente!

On ne peut pas dire grand chose de cette suite, sauf que l'on a g(x) = g(x/2^n) vrai uniquement pour n = 0 à moins que g soit la fonction nulle !

[Thorin]

Il me semble que God's Breath présentait cela sous forme de suite pour que tu penses à en étudier la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ea7aaa4]

Ok merci ,donc pour la limite :

lim un = lim g(x/2^n) = lim g(x) = f '(0)
n->+inf n->+inf x->0+

[Pour la limite en 0 :
lim un = g(x) ]
n->0

A quoi ça me sert??

[God's Breath]

La suite est constante...

[invite5ea7aaa4]

Mais comment sait-on que la suite est constante??
La suite est nécessairement constante sinon l'égalité proposée g(x) = g(x/2^n) n'est pas vérifiée, c'est bien cela l'argument pour dire que la suite u est constante?

Je vous remercie pour votre aide

[Gwyddon]

Hello,

La suite est nécessairement constante sinon l'égalité proposée g(x) = g(x/2^n) n'est pas vérifiée, c'est bien cela l'argument pour dire que la suite u est constante?

Bien entendu

Tu as un truc à gauche de l'égalité qui ne dépend pas de n, un truc à droite qui est le terme général exprimé en fonction de n.. Dit autrement, cela est du style A = u_n pour tout n, ça ne veut pas dire à ton avis que u_n est constante ?

[invite5ea7aaa4]

Vu comme ça c'est sur qu'elle est constante , merci pour votre aide!