Intégration dans le domaine de Fourier, avec des variables discrètes

[monnoliv]

Bonjour,

J'ai un problème assez pointu.
Je travaille dans le domaine discret. Pour intégrer une fonction à deux dimensions, je calcule sa transformée de Fourier (TF), puis j'effectue une opération sur la TF, puis j'effectue la transformée inverse. Le résultat est l'intégrale de la fonction.
Alors que la formule dans le cas continu est assez facile à trouver, genre pour une dimension int(f(x)) = F-1{F(U)/U} avec F(U) la TF de f(x), dans le cas discret c'est plus délicat. J'ai bien trouvé une formule d'intégration qui fonctionne très bien en deux dimensions mais je ne suis pas satisfait sur le raisonnement pour y aboutir.
Ma question, connaissez-vous ou avez-vous des liens à me proposer concernant les moyens de dérivation/intégration dans l'espace de Fourier pour les variables discrètes?

Je vous remercie.

[zoup1]

Je ne vois pas où est le problème entre le discret et le continu pour l'intégration en fourier...
Qu'est ce que tu cherhces à calculer ? l'intégrale de surface ?
Qu'utilises tu comme expression, qu'est-ce qui ne te satisfait pas dans le raisonnement ?

[Evil.Saien]

Salut, je vois ou est le problème...
En fait leq^quotient de newton ne peut pas être fait pour calculer la dérivé car la fonction est discrète.
Pour ca il faut utiliser l'opérateur qui est la différence finie.
Sinon tu peux partir de la formule de la tranformée discrete de fourier et voir que la dérivée produit un décalage modulé.

[zoup1]

Salut, je vois ou est le problème...
En fait leq^quotient de newton ne peut pas être fait pour calculer la dérivé car la fonction est discrète.
Pour ca il faut utiliser l'opérateur qui est la différence finie.
Sinon tu peux partir de la formule de la tranformée discrete de fourier et voir que la dérivée produit un décalage modulé.

Désolé, j'ai rien compris... Il s'agit d'une intégration et non pas d'une dérivée...
NB : C'est quoi un décalage modulé ?

[Evil.Saien]

Ben j'sais pas dans sa question il est précisé derivation/integration alors voila...
Un décalage modulé (je sais pas si c'est le terme officiel) mais si t'as une transformée en z tels que:
H(z) =
en dérivant par rapport a ca donne:
H(z) =
Donc ca module parce qu'on multiplie tout par j (donc en fait ca déphase de pi/2), et le terme constant (d) est enlevé

[zoup1]

Ben j'sais pas dans sa question il est précisé derivation/integration alors voila...
Un décalage modulé (je sais pas si c'est le terme officiel) mais si t'as une transformée en z tels que:
H(z) =
en dérivant par rapport a ca donne:
H(z) =
Donc ca module parce qu'on multiplie tout par j (donc en fait ca déphase de pi/2), et le terme constant (d) est enlevé

Ben, je dois pas être très bien réveillé encore... mais je comprends pas plus.. Il est vrai qu'il y a le mot dérivation dans le message mais quand même le principal c'est l'intégration.
En gros, pour faire le lien avec mes habitudes, tu notes . Note bien que comme il est à 2D je pense qu'il ne travail pas en temps mais plutôt en espace... enfin...
et que pour faire la dérivée, il suffit de multiplier chaque coefficient de fourier par fois la fréquence correspondante soit . Jusque là, je suis d'accord avec toi...
Pour faire l'intégration c'est pareil sauf qu'il faut diviser par .
Mais je ne vois pas où il y a un problème pour appliquer cela... Je ne vois pas où intervient le quotient de Newton dans cette affaire...

Ou plutot si, je vois des problèmes ; quand on fait une dérivation on donne énormément d'importance aux grandes fréquences, ce qui n'est pas terrible avec un signal réel car elles sont souvent bruitées. Il est donc prudent pour calculer une dérivée de multiplier par la fréquence mais uniquement pour les basse fréquences et ensuite de filtrer en tuant les hautes fréquences.

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les hautes fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

[monnoliv]

Pardon, je me rends compte que je n'ai pas été assez clair, voici une expression valable pour toute fonction différentiable f(x,y) complexe:

où F est l'opérateur de transformée de Fourier, l'opérateur de transformée de Fourier inverse et variable spatiale et variable spectrale.

En prenant la transformée de Fourier des deux membres et en multipliant par on trouve:


On retrouve donc f(x,y) à partir de ses deux dérivées partielles.

Au passage, si on pouvait m'expliquer le Re (Re = partie réelle).

L'équivalent en discret de cette relation fait intervenir des au lieu des U (idem pour l'autre dimension).

En fait, je ne vois pas pourquoi dans la première expression, après avoir appliqué la transformée de Fourier, il faut multiplier par q (on peut s'en sortir en additionnant juste les composantes en x et y). Donc il doit y avoir une justification mathématique mais je ne vois pas laquelle.

[Evil.Saien]

En gros, pour faire le lien avec mes habitudes, tu notes . Note bien que comme il est à 2D je pense qu'il ne travail pas en temps mais plutôt en espace... enfin...

il s'agit plutot de sans le t...
Le fait de passer en 2D ne change fondamentalement rien, juste que on doit définir et , ce qui nous donne
Avec qui sont des coeff.
Ensuite pour dériver ou intégrer c'est la même chose qu'en 1D.
Le problème c'est qu'on peut pas calculer le quotient de Newton, parce qu'ayant des variables discrète et les limites a gauches et a droites de ne sont pas définies. C'est pour ca qu'il faut utiliser l'opérateur des différences finies

[Evil.Saien]

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les hautes fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

C'est marrant parce que c'est éxactement le contraire:
intégration = diviser par donc amplifie quand est petit : basses fréquences...

[monnoliv]

Au fait, je travaille sur des ensembles bornés, la formule de transformation de Fourier s'écrit (pour une dimension):


Si quelqu'un a une connaissance du domaine ou un lien ... (après vous être épistémologiquement disputé...)

[zoup1]

Bon, il me semble clair que je ne suis pas très bien réveillé aujourd'hui, mais il y a quand même un nombre de trucs que je ne comprends pas bien...

Tout d'abord mes coquilles ;

il s'agit plutot de sans le t...

je suis tout à fait d'accord, je ne suis pas vraiment familier avec cette façon d'écire les choses, mais c'est bien ça..

C'est marrant parce que c'est éxactement le contraire:
intégration = diviser par donc amplifie quand est petit : basses fréquences...

La aussi je suis parfaitement d'accord, c'est d'ailleurs conforme avec ce que je dis pour la dérivation... donc je reprends;

Pour l'intégration les choses se passent mieux car là c'est plutot les basses fréquences qui sont amplifiées et elles sont souvent moins bruitées dans un signal réel (même si on peut discuter longtemps de ce point)...

Pour le reste je ne comprend pas, je ne vois toujours pas où est le problème...
J'y réfléchis pausement et je réécris...

[Evil.Saien]

Chère zoup,
j'ai pas été très clair je l'admet, et je risque de pas l'être plus maintenant car je viens de me prendre la tete avec mon assistant... (et devinez pour quoi ? pour une discrétisation )
Malgré tout je vais éssayer:
En gros, faire la transformée d'un signal spatial discret donne une fonction dans le domaine de fourier définie elle aussi discrètement avec deux variables et . Jusque la tout va bien.
Ensuite on aimerais dériver par rapport à x ou y. Mais le problème c'est que ce sont des variables discrètes. Si on prend une fonction discrète par exemple, alors on aura pas , ca n'a aucun sens d'écrire ca dans le domaine discret puisque selon la définition de la dérivée on a avec non-définie...
C'est pour ca qu'il faut passer par l'opérateur pour pouvoir quantifier la dérivée discrète...

[zoup1]

avec non-définie...
C'est pour ca qu'il faut passer par l'opérateur pour pouvoir quantifier la dérivée discrète...

Je suis bien d'accord avec tout cela mais cela n'a pas grand chose à voir avec le problème posé me semble t il ??

[zoup1]

Bon alors,
Je pars du départ pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité...
on a une fonction et sa transformée de fourier .
J'appelle la transformée de Fourier et la transformé de Fourier inverse.

soit et aussi
avec
et

Voilà pour les notations... j'espère ne pas avoir fait trop de bourdes
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Du coup
Même chose en y :
Ou encore ; pour obtenir l'expression de monnoliv à un facteur près que je n'explique pas vraiment (surtout le i)...
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Voilà, je crois que j'ai compris ce que tu demandes...
Je reformules, tu connais df/dx et df/dy et tu veux déterminer f... tu te demandes pourquoi la relation a utiliser est celle que tu donnes...


Ma réponse est la suivante : je ne sais pas très bien mais...
1) je pense qu'il y a un petit problème dans ton expression, cela doit être plutot au dénominateur.

2) Si tu fais maintenant simplement l'integrale sur en x de pour remonter à f, tu vas trouver une fonction fx qui sera f à une fonction près qui ne dépend que de y.
Même chose en intégrant en y tu, obtiens fy qui est f à une fonction près qui ne dépend que de x.
L'expression que tu propose semble être une pondération de ses 2 fonction avec comme facteur de pondération qx²/q² pour fx et qy²/q² pour fx

Qu'est-ce qui justifie cette façon de pondérer, je ne sais pas trop... cela revient à favoriser les grand nombre d'onde ce qui me semble dangereux.

En ce qui concerne la partie rélle, je ne sais pas non plus... je ne vois pas ce qui ferait dans cette transformation qu'a partir de deux fonction réelles df/dx et df/dy on obtienne au final quelque chose qui ne l'est pas.

Il y a un autre truc qui me pertube... c'est que si tu part de df/dx et df/dy, rien ne t'assure a priori que l'on a d²f/dxdy = d²f/dydx.
Il est possible que cette écriture que tu proposes tienne compte de ce problème, mais je dois bien avouer que je suis un peu perdu.
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Encore une fois, je ne vois pas bien où il y aurait un problème dans la discrétisation...

J'espère que cela aide...

[Evil.Saien]

Justement si, c'est meme la clé du problème...
Comme la dérivation classique spatiale n'est pas valable dans le cas discret, la multiplication par jw dans le domaine de fourier ne l'est pas plus car c'est en utilisant la definition de la dérivée classique qu'on la retrouve...
C'est donc pour ca qu'au lieu d'écrire qui n'a pas de sens (cf formule de Monnoliv) il faut utiliser l'opérateur de la différence fini pour calculer ceci...